CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Tập mờ và các phép toán trên tập mờ Lý thuyết tập mờ được Zadeh thiết lập lần đầu năm 1965 trong [40]. Khái niệm tập mờ là một mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển và được dùng trong lôgic mờ.
Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo kiểu nhị phân theo một điều kiện rõ ràng - một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp. Mở rộng ra trong lý thuyết tập mờ, ngữ nghĩa của mỗi từ mờ được biểu diễn bằng một hàm từ tập vũ trụ U vào đoạn [0, 1] và hàm đó gọi là tập mờ trên U. Với tập mờ thì bất kỳ phần tử nào trong vũ trụ đều có thể thuộc về nó với mực độ thuộc được đo bởi một giá trị trong đoạn [0, 1]. Tập mờ (fuzzy set) Định nghĩa 1.1: [40] Cho U là vũ trụ các đối tượng.
Tập mờ A trên U là tập các cặp có thứ tự (x, μA (x)), với μA (x) là hàm từ U vào [0, 1] gán cho mỗi phần tử x thuộc U giá trị μA (x) phản ảnh mức độ thuộc của x thuộc vào tập mờ A. Nếu 𝜇𝐴 (𝑥) = 0 thì ta nói x hoàn toàn không thuộc tập A, ngoài ra nếu 𝜇𝐴 (𝑥) = 1 thì ta nói x thuộc hoàn toàn vào A. Trong Định nghĩa 1.1, hàm 𝜇 còn được gọi là hàm thuộc (membership function). Khi xây dựng các hàm thuộc của tập mờ A nào đó, một yêu cầu đặt ra là giá trị của nó phải biến thiên từ 0 đến 1.
Trong các ứng dụng lý thuyết tập mờ ta thường sử dụng một số dạng hàm thuộc dưới đây cho tập mờ A: 𝑥−𝑎 𝑐−𝑥 Hàm thuộc dạng tam giác: 𝜇𝐴 (𝑥) = 𝑚𝑎𝑥 (𝑚𝑖𝑛 ( , ) , 0). Trong đó a, b, 𝑏−𝑎 𝑐−𝑏 c lần lượt là chân bên trái, đỉnh và chân bên phải của tam giác. 𝑥−𝑎 𝑑−𝑥 Hàm thuộc dạng hình thang: 𝜇𝐴 (𝑥) = 𝑚𝑎𝑥 (𝑚𝑖𝑛 ( , , 1) , 0). Trong đó 𝑏−𝑎 𝑑−𝑐 a, d lần lượt là đỉnh dưới bên trái, bên phải, b, c lần lượt là đỉnh trên bên trái, bên phải của hình thang.
Trong đó c là độ rộng và b là vị trí đỉnh của hàm. Trong các dạng hàm thuộc của các tập mờ ở trên, hàm thuộc dạng tam giác được sử dụng nhiều nhất do nó đơn giản và dễ hiểu với người dùng. luan an 18 Các khái niệm, tính chất, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ [1, 35, 41]. Theo đó, các phép toán như t-norm, t-conorm, negation và phép kép theo,.
trong logic mờ được đề xuất, nghiên cứu chi tiết cung cấp cho các mô hình ứng dụng giải các bài toán thực tế. Biến ngôn ngữ Biến ngôn ngữ là một biến có thể gán các từ trong ngôn ngữ cho giá trị của nó. Các từ được đặc trưng bởi định nghĩa tập mờ trong miền xác định mà ở đó biến được định nghĩa. Các biến ngôn ngữ cho phép biểu diễn một miền các giá trị số dưới dạng thuật ngữ miêu tả đơn giản của hệ mờ.
Ví dụ: tuổi của con người có thể xem đây là biến ngôn ngữ có tên gọi TUỔI và nó nhận các giá trị ngôn ngữ như: “già”, “rất già”, “trung bình”, “trẻ”, ”rất trẻ”,. Tương ứng với mỗi hàm thuộc sẽ được gán một giá trị ngôn ngữ. Giả sử lấy giới hạn của tuổi thông thường trong khoảng [1, 120] và giả sử rằng các giá trị ngôn ngữ được sinh ra bởi một tập các luật. Khi đó, một cách hình thức, chúng ta có định nghĩa của biến ngôn ngữ sau đây: Định nghĩa 1.2: [13] Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần (X,T(X), U, R, M), trong đó X là tên biến, 𝑇(𝑋 ) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho tập 𝑇(𝑋 ), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong 𝑇(𝑋 ) với một tập mờ trên U.1: Từ định nghĩa trên, nếu biến ngôn ngữ X là biến TUỔI, biến cơ sở của u có miền xác định là 𝑈 = [1,120] tính theo tuổi.
Tập các giá trị ngôn ngữ tương ứng của biến ngôn ngữ là 𝑇(𝑇𝑈Ổ𝐼) = {𝑇𝑟ẻ, 𝑇𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑖ê𝑛, 𝐺𝑖à}. R là một qui tắc để sinh ra các giá trị này. M là luật gán ngữ nghĩa sao cho mỗi một giá trị ngôn ngữ sẽ được gán với một tập mờ. Chẳng hạn, đối với giá trị nguyên thuỷ “già”, 𝑀(𝐺𝑖à) = {(𝑢, 𝜇𝐺𝑖à (𝑢))| 𝑢 ∈ [1,120]}, được gán như sau: 0 𝑢 ≤ 40 𝑢 − 40 𝜇𝐺𝑖à (𝑢) = { 40 < 𝑢 ≤ 55 120 1 55 ≤ 𝑢 luan an 19 Hình 1.1: Hàm thuộc cho tập mờ thể hiện tuổi người là: Trẻ, Trung niên, Già 1.
Phân hoạch mờ Chúng ta có định nghĩa phân hoạch mờ như sau: Định nghĩa 1.3: [36] Cho m điểm cố định 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 thuộc tập 𝑈 = [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝑅, 𝑝1 = 𝑎, 𝑝𝑚 = 𝑏 là không gian tham chiếu của biến cơ sở 𝑢 của biến ngôn ngữ 𝑋. Khi đó một tập 𝑇 gồm m tập mờ 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚 định nghĩa trên 𝑈 (với hàm thuộc tương ứng là 𝜇𝐴1 , 𝜇𝐴2 ,., 𝜇𝐴𝑚 ) được gọi là một phân hoạch mờ của 𝑈 nếu các điều kiện sau thoả mãn, ∀𝑘 = 1, … , 𝑚: 1) 𝜇𝐴𝑘 (𝑝𝑘 ) (𝑝𝑘 thuộc về phần được gọi là lõi của 𝐴𝑘 ); 2) Nếu x ∉ [𝑝𝑘−1 , 𝑝𝑘+1 ] thì 𝜇𝐴𝑘 (𝑥) = 0 (trong đó 𝑝0 = 𝑝1 = 𝑎 và 𝑝𝑝+1 = 𝑝𝑝 = 𝑏); 3) 𝜇𝐴𝑘 (𝑥) là liên tục; 4) 𝜇𝐴𝑘 (𝑥) đơn điệu tăng trên [𝑝𝑘−1 , 𝑝𝑘 ]; 5) ∀𝑥 ∈ 𝑈, ∃𝑘, sao cho 𝜇𝐴𝑘 (𝑥) > 0; Nếu phân hoạch mờ thoả mãn thêm điều kiện 6) dưới đây thì được gọi là phân hoạch mờ mạnh. 6) ∀𝑥𝜖𝑈, ∑𝑚 𝑘=1 𝜇𝐴𝑘 (𝑥 ) = 1; Nếu phân hoạch mờ thoả mãn thêm điều kiện 7), 8), 9) dưới đây thì được gọi là phân hoạch đều. 7) Với 𝑘 ≠ 𝑚 thì ℎ𝑘 = 𝑝𝑘+1 − 𝑝𝑘 = hằng số 8) Các tập mờ 𝜇𝐴𝑘 (𝑥) là hàm đối xứng 9) Các tập mờ 𝜇𝐴𝑘 (𝑥) có cùng một dạng hình học Mỗi phân hoạch mờ theo định nghĩa Định nghĩa 1.3 còn được gọi là một thể hạt (granularity), một phân hoạch mờ gồm một thể hạt gọi là phân hoạch mờ đơn thể luan an 20 hạt (single granularity), một phân hoạch mờ gồm nhiều thể hạt gọi là phân hoạch mờ đa thể hạt (multi granularity).2: Một cấu trúc phân hoạch mờ dạng đơn thể hạt Để thiết kế các phân hoạch mờ, chúng ta có thể tiếp cận theo hai hướng: lý thuyết tập mờ và tiếp cận theo lý thuyết ĐSGT [19, 49].
Theo tiếp cận lý thuyết tập mờ việc thiết kế phân hoạch mờ là đi xác định các tập mờ cho mỗi phân hoạch rồi gắn cho nó một nhãn ngôn ngữ. Quá trình thiết kế tập mờ không xuất phát từ ngữ nghĩa của từ ngôn ngữ và không có ràng buộc liên kết giữa nhãn ngôn ngữ và tập mờ. Theo tiếp cận lý thuyết ĐSGT khắc phục được một số nhước điểm của lý thuyết tập mờ, việc thiết kế phân hoạch mờ là đi xác định các từ ngôn ngữ và ngữ nghĩa của từ sử dụng trong phân hoạch.3: Một cấu trúc phân hoạch mờ dạng đa thể hạt Quá trình này được thực hiện dựa trên ngữ nghĩa của miền ngôn ngữ và dựa trên hệ hình thức hóa của ĐSGT. Phương pháp thiết kế phân hoạch sử dụng ĐSGT phù hợp với cấu trúc vốn có của ngôn ngữ tự nhiên.
luan an 21 Hình 1.2 là một cấu trúc phân hoạch mờ dạng đơn thể hạt, Hình 1.3 là một cấu trúc phân hoạch mờ dạng đa thể hạt. Thiết kế phân hoạch miền giá trị của các thuộc tính sử dụng biểu diễn dạng đa thể hạt có ưu điểm là các từ có ngữ nghĩa từ khái quát đến đặc tả. Vì vậy nó phù hợp với ngữ nghĩa vốn có của từ trong thế thế giới thực hơn. Đại số gia tử Để hiểu ý nghĩa của ĐSGT ta hãy lấy biến số 𝑥𝑁 nhận giá trị số thực trên một khoảng [a, b], định ý biến tốc độ chẳng hạn.
Nó mô phỏng một biến của thế giới thực 𝑥𝑅 (Reality). Con người cũng có thể mô tả biến 𝑥𝑅 bằng một biến ngôn ngữ XL sử dụng các giá trị ngôn ngữ. Vì miền của biến 𝑥𝑁 , Dom(𝑥𝑁 ) có thứ tự tuyến tính, nên thực tế ta thấy miền ngôn ngữ của XL, Dom(XL), cũng có thức tự tuyến tính và, dó đó, nó là một cấu trúc toán học. ĐSGT là một lý thuyết nhằm phát hiện và làm rõ cấu trúc toán học, cụ thể là cấu trúc đại số của miền ngôn ngữ Dom(XL), trong đó các gia tử như very, rather,… đóng vai trò là các phép tính một ngôi, chẳng hạn “very fast”, “very rather slow”,… 1.
Khái niệm Đại số gia tử Định nghĩa 1.4: [19, 49] Một ĐSGT được ký hiệu là bộ 4 thành phần được ký hiệu 𝐴𝑋 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤) trong đó G là tập các phần tử sinh, H là tập các gia tử (hedge) còn " ≤ " là quan hệ cảm sinh ngữ nghĩa trên X. Giả thiết trong G có chứa các phần tử hằng 0, W, 1 với ý nghĩa là phần tử bé nhất, phần tử lớn nhất và phần tử trung hoà (neutral) trong X. Ta gọi mỗi giá trị ngôn ngữ 𝑥 ∈ 𝑋 là một hạng từ (term) trong ĐSGT. Tập H được chia thành hai tập con rời nhau, ký hiệu là H − và H + , trong đó H − là tập gia tử âm (các gia tử làm giảm ngữ nghĩa của các phần tử sinh).
H + là tập các gia tử dương (các gia tử làm tăng ngữ nghĩa của các phần tử sinh). Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết rằng H − = {h−1 < h−2 < ⋯ < h−q } và H+ = {h1 < h2 < ⋯ < hp }. Khi tác động gia tử h ∈ H vào phần tử x ∈ X, thì thu được phần tử ký hiệu hx. Với mỗi x ∈ X, ký hiệu H(x) là tập tất cả các hạng từ u ∈ X được sinh từ ngôn ngữ x bằng cách áp dụng các gia tử trong H và viết u = hn … h1 x với hn ,.
luan an 22 Nếu tập X và H là các tâp sắp xếp thứ tự tuyến tính, khi đó AX = (X, G, H, ≤) gọi là ĐSGT tuyến tính.