CHƯƠNG I: BIẾN ĐỔI WFT 1.1 Định nghĩa Trong nhiều ứng dụng kỹ thuật, đối với một tín hiệu x(t) với t là biến liên tục, chúng ta là cần xác định được thành phần phổ tần số của tín hiệu và đồng thời xác định thành phần tần số nào đó có mặt vào thời điểm nào đó trong tín hiệu đó. Ví dụ như trong một bản nhạc, một nốt nhạc nào đó (có tần số xác định) được chơi vào thời điểm nào đó. Như chúng ta đã biết, với biến đổi Fourier truyền thống: 1 ω) = x( 2π ∫x(t)e dt −iω t (1.1) Qua biến đổi Fourier, chúng ta có thể xác định được các thành phần tần số nào có mặt trong x(t) , tuy nhiên thông tin định vị về mặt thời gian thì hoàn toàn không, như vậy chúng ta chỉ giải quyết được một khía cạnh của một vấn đề. Do vậy, chúng ta cần định hướng tới phương pháp biến đổi cho phép xác định đồng thời hai tham số thời gian và thành phần tần số trong tín hiệu.
Biến đổi WFT là một trong các dạng biến đổi đáp ứng được điều này. Yếu tố thời gian được xác định thông qua việc giới hạn khung quan sát tín hiệu x(t) , sau đó tiến hành biến đổi Fourier thông thường của phần tín hiệu bị giới hạn đó.2) −∞ (Dấu * biểu thị giá trị liên hợp) -6- Dưới đây là một ví dụ về biến đối WFT của một đoạn tín hiệu nhạc.1 : Đoạn bản nhạc Hình 1.2 : Biến đổi WFT Thông thường, chúng ta chọn cửa sổ thực, thường là đáp ứng của bộ lọc thông thấp. Có nhiều phương án sử dụng hàm cửa sổ γ , hầu hết trong số đó đề là các hàm hẹp và trơn, thông thường sử dụng hàm Gaussian. Nếu chúng ta chọn hàm cửa sổ là hàm Gaussian, khi đó chúng ta sẽ có biến đổi Gabor.
Tính chất dịch của biến đổi WFT: Khi chúng ta dịch tín hiệu x(t)→ x(t − t ) 0 ) dẫn tới một phép dịch trong biến đổi là t 0. Hơn nữa, khi chúng ta điều chế tín hiệu x(t) →x(t)e iω0 t thì dẫn tới phép dịch trong biến đổi là ω0 .2 Đặc điểm phân giải thời gian – tần số Áp dụng các tính chất của biến đổi Fourier, chúng ta thu được : -7- i ωt γ τ , ω (t) : = (t γ −)eτ ∞ γ ( ν) : = τ, ω ∫ γ(t − )eτ −∞ − i(ν −ω)t dt =( γ ν −)eω −i( ν −ω) τ (1.3) Từ quan hệ Parserval: ∞ ∫ x(t) γ(t −)eτ dt * −i ωt x, γ τ , ω = −∞ 1 = x, γ τ, ω 2π ∞ 1 * ∫ x( ν) γ ( ν − ω)e i( ν−ω) τ = d ν (1.4) 2π −∞ chúng ta có: ∞ 1 * x γ( τ, ω) =e −i ωτ 2π ∫ x( )ν (γ ν −)eω di ντ ν −∞ (1.5) Từ đây chúng ta thấy, việc quan sát tín hiệu trong phạm vi cửa sổ thời gian γ * (t − τ ) đồng thời dẫn tới giới hạn phạm vi phổ tần số trong cửa sổ * γ (ν − ω ). * Chúng ta giả sử rằng γ* (t − τ) và γ (ν − ω ) tập trung trong một khoảng thời gian và tần số nhất định.7) Khi đó, x γ( τ, ω) mang thông tin của tín hiệu x(t) và phổ tần số x( ω ) trong cửa sổ thời gian – tần số sau : τ + t 0 − ∆ t , τ + t 0 + ∆t x ω + ω0 − ∆ ω, ω + ω0 + ∆ ω (1.8) Vị trí của cửa sổ thời gian – tần số được xác định bởi tham số τ và ω , do vậy chúng ta có sự phân giải đồng đều trong mặt phẳng thời gian – tần số, như trong hình sau : -8- Hình 1.3 : Cửa sổ phân giải thời gian – tần số của biến đổi WFT Chúng ta tiếp tục phân tích kích thước và vị trí của cửa sổ phân tích. Điều kiện cơ bản để hàm γ * (t) có dạng cửa sổ là γ * (t)∈ L 2( ) và γt * (t)∈ L 2( ).
Vì vậy, tương tự chúng ta cũng có điều kiện để γ * (ω ) trở thành hàm cửa sổ tần số là γ * (ω )∈ L 2( ) và ωγ * ω( )∈ L 2 ( ). Giá trị trung tâm t 0 và bán kính ∆ t của cửa sổ thời gian γ * (t) được định nghĩa tương tự như giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên như sau : ∞ 2 γ(t) t0 = ∫t −∞ γ dt 1/2 ∞ γ (t) 2 −∞ ∫ ∆ t = (t − t 0) 2 γ dt (1.9) Tương tự, chúng ta cũng có tần số trung tâm ω0 và bán kính ∆ ω của cửa sổ tần số Γ * (ω ) như sau : 2 ∞ γ( ω) ω0 = ∫ω −∞ γ dω 1/2 ∞ γ( ω) 2 ∫ 2 ∆ ω = ( ω − ω0) d ω (1.10) −∞ γ -9- Trong phép phân tích thời gian – tần số, mục đích của chúng ta là thu được kết quả phân giải cao đối với cả hai tham số. Nói cách khác, chúng ta sử dụng của sổ có kích thước nhỏ tới mức tối thiểu. Tuy nhiên, nguyên lý bất định đã chỉ ra giới hạn nhỏ nhất cho kích thước của cửa sổ.
Khi chúng ta chọn kích thước cửa sổ nhỏ để đạt được độ phân giải cao về mặt thời gian, thì chúng ta phải trả giá về độ phân giải thấp về tần số và ngược lại.3 Nguyên lý bất định Chúng ta xét tích số ( ∆t ∆ω ) 2 là diện tích của phần mặt phẳng thời gian– tần số được bao bởi cửa sổ. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử 2 2 ∫ γt (t) dt = 0 và ∫ω Γ ω( ) dω = 0 , bởi vì những thuộc tính này dễ dàng đạt được bằng việc dịch thời gian và điều chế.10) chúng ta có : ∞ ∞ 2 2 −∞ ∫ t 2 γ(t) 2dt −∞ ∫ ω2 (γ )ω d ω ( ∆t ∆ω ) = 2 2 (1.11) γ γ Thừa số phía bên trái của tử số có thể viết lại như sau : ∞ ∫ t γ(t) dt = ξ 2 2 2 (1. Sử dụng nguyên lý tích phân của biến đổi Fourier, thừa số bên phải của tử số có thể viết lại như sau : ∞ ∞ 2 2 ∫ ∫F {γ'(t) }d ω 2= π' γ 2 ω2 γ( ω) d ω = (1.13) và γ chúng ta thế vào (1.11) 2 = 2π γ dt và thu được : 1 2 ( ∆t ∆ω )2 = 4 ξ 2 γ (1.14) γ Áp dụng bất đẳng thức Schwarz chúng ta thu được : - 10 - 2 1 2 ( ∆t ∆ω ) ≥ 4 ξ, γ' γ 1 2 ≥ 4 { ℜ ξ, γ' } γ 2 1 ∞ t (t) ' (t)dt ≥ γ 4 ℜ −∞ γ γ* ∫ (1.15) Sử dụng quan hệ : { * ℜ t γ(t) γ' (t) } = t12 dtd (t)γ 2 (1.16) chúng ta có thể viết tích phân trong (1.15) về dạng : ∞ 1 ∞ d ∫ ∫ * 2 ℜ t γ(t) γ' (t)dt = t (t)γ dt (1.17) −∞ 2 −∞ dt Lấy tích phân từng phần chúng ta thu được : ∞ ∞ ∞ 1 d 1 1 ∫ ∫ (t)γ dt 2 2 2 t γ(t) dt = t (t)γ − (1.18) 2 −∞ dt 2 −∞ 2 −∞ trực tiếp rút ra từ γt (t)∈ L 2( ) , chúng ta có : ∞ 1 2 ∫ * ℜ t γ(t) γ' (t)dt =− γ (1.19) −∞ 2 và chúng ta có thể kết luận rằng : 2 1 ( ∆t ∆ω ) ≥ 4 (1.21) 2 Mối quan hệ (1.21) được gọi là nguyên lý bất định. Nguyên lý này chỉ ra rằng, kích thước của một của sổ thời gian – tần số không thể thay đổi nhỏ tùy ý và cũng không thể có được sự phân giải thời gian – tần số một cách hoàn hảo.15), chúng ta thấy dấu đẳng thức (1.21) xảy ra khi γt (t) là bội số của γ '(t) , hay nói cách khác, γ (t) phải thỏa mãn : t (t) c '(t) (1.22) thông thường lựa chọn như sau : t2 − 2 β2 γ(t) =ae (1.23) Do vậy, dấu đẳng thức (1.21) xảy ra nếu γ (t) là hàm Gaussian.4 Spectrogram Nói chung, biến đổi WFT là biến đổi trên các số phức, do vậy chúng ta sử dụng đồ thị spectrogram để hiển thị và phân tích kết quả.
Spectrogram được tính toán bằng giá trị bình phương của biến đổi WFT: 2 ∞ 2 S x ( τ, ω) = x(γ ,τ )ω ∫ * −i ωt = x(t) (tγ )e− τ dt (1.24) −∞ Chúng ta có một thí dụ về spectrogram.4 : (a) Tín hiệu gốc; (b) Biểu diễn lý tưởng thời gian–tần số; (c) Spectrogram Các giá trị của S x τ( ,ω) được biểu diễn bằng các mức độ xám khác nhau. Chúng ta có thể nhận ra tính tương đối trong việc xác định đồng thời cặp tham số thời gian và tần số bằng việc so sánh giữa hình (c) và dạng lý tưởng trong hình (b). Chúng ta lấy tiếp một ví dụ về spectrogram tín hiệu tiếng nói như hình sau: - 13 - Hình 1.5 : Spectrogram của đoạn tín hiệu tiếng nói; (a) tín hiệu, (b) spectrogram Trong hình trên, các vạch thẳng đứng đứng cạnh nhau có mật độ thay đổi theo cao độ (pitch) trong tiếng nói. Mỗi vạch tương ứng với một chu kỳ cao độ (pitch period).
Pitch cao được thể hiện bởi vạch thẳng đứng hẹp. Tần số cộng hưởng trong vòm miệng của âm hữu thanh được thể hiện bằng vùng tối hơn trong các vạch thẳng đứng. Tần số cộng hưởng này được gọi là các tần số formant. Âm sát hay âm vô thanh được thể hiện giống như nhiễu băng rộng.5 Khôi phục tín hiệu từ biến đổi WFT 1.1 Khôi phục bằng tích phân liên tục Chúng ta có thể khôi phục lại tín hiệu x(t) từ x γ( τ, ω) theo biểu thức sau : ∞ ∞ 1 ∫ ∫x( ,τ )g(t i t x(t) = γ ω −)e τ d ωd τ ω (1.25) 2π −∞ −∞ Cửa sổ tổng hợp g(t) phải thỏa mãn điều kiện sau : ∞ ∫ γ (t)g(t)dt 1= * (1.26) −∞ Chúng ta kiểm tra điều kiện này bằng cách thế (1.