ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ NĂM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ TÍNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ NĂM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ TÍNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 Phương trình đại số và Tính nghiệm gần đúng Trần Thị Năm ĐHKH Thái Nguyên Thái Nguyên, năm 2013 Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 Phương trình và Định lý Hilbert về không điểm 4 1.1 Mở rộng đại số .1 Quan hệ tương đương .3 Mở rộng đại số .4 Một vài vận dụng .2 Phụ thuộc đại số và Định lý Hilbert về cơ sở .1 Phụ thuộc đại số .2 Định lý cơ sở của Hilbert .3 Định lý không điểm của Hilbert . 21 2 Tính gần đúng nghiệm 25 2.1 Nghiệm của hệ đa thức .1 Kết thức và phép khử .2 Khái niệm kết thức và biệt thức .3 Biểu diễn kết thức qua nghiệm .4 Phép khử ẩn .5 Phép biến đổi Tschirnhaus .2 Xác định nghiệm gần đúng .1 Phương pháp truy hồi .2 Phương pháp dây cung .3 Phương pháp tiếp tuyến của Newton .4 Phương trình hàm ẩn .3 Phương pháp lặp và sự hội tụ của chúng .4 Ví dụ minh họa . 57 ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ, góp ý để hoàn thiện luận văn này. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đã nhận được sự động viên, khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình của các cấp lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường phổ thông dân tộc Nội trú THPT tỉnh Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp và gia đình. Với tình cảm chân thành, tác giả xin cảm ơn Khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo - Trường Đại học Khoa học - Đại hoc Thái Nguyên, các thầy cô giáo tham gia giảng dạy, cung cấp kiến thức và tài liệu giúp tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành từ các thầy giáo, cô giáo, bạn bè đồng nghiệp và bạn đọc. Xin chân trọng cảm ơn! Tác giả iii Mở đầu Hai định lý của Hilbert về cơ sở và không điểm thuộc những kết quả cơ bản trong đại số. Chúng được vận dụng nhiều không chỉ trong lĩnh vực Đại số và Hình học đại số, mà chúng còn được vận dụng trong Lý thuyết số tổ hợp (Combinatorial Number Theory), trong Lý thuyết đồ thị và cả trong Tổ hợp. Đặc biệt, như nhà toán học Noga Alon (Tel Aviv University) nói, những vận dụng của hai định lý cơ bản ấy đã cho ta những kết quả sâu sắc trong Lý thuyết số và trong vấn đề tô màu đồ thị. Do vậy, những người học toán hay dạy toán cũng cần nghiên cứu hai định lý này khi có thể. Trong chương trình toán phổ thông hiện nay, đặc biệt cho chuyên toán, phần phương trình và hệ phương trình chiếm một thời lượng khá lớn và ứng dụng nhiều trong các môn học khác cũng như trong thực tế. Khá nhiều sách tham khảo của nhiều tác giả cũng viết về chuyên đề này. Các tài liệu hiện có thường quan tâm đến các kỹ thuật và phương pháp giải các dạng, các lớp phương trình và hệ phương trình. Tuy nhiên, các phương pháp đại số (biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá biểu thức.) giải phương trình, hệ phương trình thường chỉ giải được một số lớp phương trình và hệ phương trình nào đó, tức là không mang tính phổ quát. Hơn nữa khi giải phương trình ta thường biến đổi để đưa phương trình đang xét về phương trình đa thức. Nhiều bài toán ta không cần biết chính xác nghiệm cụ thể mà ta cần một vài tính chất có liên quan đến tập nghiệm. Vì vậy, học sinh, ngay cả học sinh chuyên toán, thường lúng túng khi gặp các dạng bài tập này. Do vậy, chúng ta cần mở rộng trường để phương trình có nghiệm trên trường mới và dựa vào Định lý 1 Viet để suy ra những tính chất của nghiệm mà ta quan tâm. Một vấn đề nữa mà chúng ta cũng hay gặp là việc giải một hệ phương trình nhiều ẩn, chúng ta thường làm loại bỏ một số phương trình nhưng không làm ảnh hưởng đến tập nghiệm của hệ đã cho. Chính vì vậy mà luận văn đặt vấn đề xét khái niệm phụ thuôc đại số, phương trình đại số và định lý cơ sở của Hilbert, định lý không điểm của Hilbert. Đặc biệt thông qua việc nghiên cứu cách giải gần đúng phương trình phi tuyến đề tài đề cập đến cách tính nghiệm gần đúng nhằm cung cấp thêm kiến thức về giải phương trình, hệ phương trình và các bài toán có liên quan phục vụ cho công tác giảng dạy và học tập môn toán, các môn học khác cũng như giải quyết các bài toán thực tế trong chương trình trung học phổ thông. Luận văn được chia ra làm hai chương. Chương 1 gồm ba mục.1 được dành để trình bày về mở rộng trường.2, chúng tôi trình bày về khái niệm phụ thuộc đại số và Định lý Hilbert về cơ sở.3 tập trung trình bày về phương trình đại số, Định lý Hilbert về không điểm và một kết quả của Noga Alon. Kết quả chính là ba định lý sau.4 [Hilbert’s Basis Theorem]Mỗi idêan I 6= (0) và I 6= (1) của vành đa thức K[x1 , x2 , . , xn ] đều có một hệ sinh hữu hạn. , ξn ) là nghiệm của hệ fi (x1 , . Khi đó có các đa thức bi (x1 , . , xn ] và số nguyên dương s thỏa mãn r X s g(x1 , . Cho đa thức khác không g(x) = g(x1 , . Ký hiệu các tập con 2 Q Si ⊂ K thỏa mãn |Si | > 1 và pi (xi ) = (xi − s) với i = 1, . Nếu s∈Si g(x) triệt tiêu tại mọi nghiệm chung của p1 , . , pn thì tồn tại đa thức q1 , . , xn ] thỏa mãn deg qi 6 deg g − deg pi để n X g= qi pi . i=1 Chương 2 gồm ba mục.1 được dành để trình bày về kết thức và một vài tính chất của nó.2 chúng tôi trình bày về một vài phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến.3 trình bày về phương pháp lặp để giải gần đúng phương trình. Kết quả chính là hai định lý sau.1 Với hai đa thức fu và gv luôn có hai đa thức h(u, v, x) và k(u, v, x) thuộc K[u, v][x] thỏa mãn hệ thức biểu diễn sau: Res(fu , gv ) = h(u, v, x)fu + k(u, v, x)gv .20 Hệ phương trình (A) g(x, y) = 0 được giải qua f, g ∈ R[x, y] phương trình đa thức một ẩn. 3 Chương 1 Phương trình và Định lý Hilbert về không điểm Chương này tập trung xét một vài phần liên quan đến phương trình đại số và Định lý không điểm của Hlbert.1 Mở rộng đại số 1.1 Quan hệ tương đương Giả thiết tập X 6= ∅. Tích Carte X × X được định nghĩa như sau: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}. Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi trong X. Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy. Giả thiết X 6= ∅ và S 6= ∅ là một quan hệ hai ngôi trong X. Quan hệ S được gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (1) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx. (2) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx. (3) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy và ySz thì cũng có xSz. 4 Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼ thay cho S. Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương đương với x làm đại diện. Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau: Tính chất 1. Giả sử ∼ là quan hệ tương đương trong X. (4) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau. Giả thiết X 6= ∅ và S 6= ∅ là một quan hệ hai ngôi trong X. Quan hệ S được gọi là một quan hệ thứ tự trong X nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (1) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx. (2) (Phản đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy và ySx thì x = y. (3) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy và ySz thì cũng có xSz. Tập X được gọi là một tập sắp thứ tự nếu có quan hệ thứ tự trong X.2 Mở rộng đơn Giả thiết K là một trường và x là một biến. Xét vành đa thức K[x]. Giả sử f (x) thuộc K[x] là một đa thức bất khả quy bậc n > 0. Trong K[x] ta xét quan hệ ∼ được định nghĩa như sau. Quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trong vành K[x]. Điều này chứng tỏ b(x) ∼ a(x). Điều này chứng tỏ a(x) ∼ d(x). Tóm lại, ta đã chỉ ra quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trong vành K[x]. Với quan hệ tương đương ∼ ta phân lớp vành K[x] như sau: Với mỗi đa thức a(x) ∈ K[x] ta ký hiệu a(x) là lớp tương đương với a(x) làm đại diện. Như vậy, ta có K[x]/ ∼= {a(x)|a(x) ∈ K[x]}. Tiếp theo, ta đưa ra hai phép toán hai ngôi trong K[x]/ ∼ để biến tập này thành một trường qua việc định nghĩa: a1 (x) + a2 (x) = a1 (x) + a2 (x), a1 (x). Dễ dàng kiểm tra, phép cộng và phép nhân nhân như định nghĩa là những phép toán hai ngôi trong K[x]/ ∼ . Với phép cộng và phép nhân ta có kết quả sau. Tập K[x]/ ∼ cùng phép cộng và phép nhân lập thành một trường. Trường này được ký hiệu qua K[x]/(f (x)) hoặc K ∗ . Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra tập K[x]/ ∼ cùng phép cộng và phép nhân lập thành một vành giao hoán với đơn vị 1 và phần tử không 0, 6 đó là lớp gồm tất cả các đa thức chia hết cho f (x). Vì f (x) là một đa thức bất khả quy nên ước chung lớn nhất của a(x) và f (x) phải thuộc trường K.
Tổng quan nghiên cứu
Phương trình đại số và tính nghiệm gần đúng là chủ đề trọng tâm trong toán học ứng dụng và lý thuyết đại số. Theo ước tính, việc giải các phương trình đa thức và hệ phương trình đa ẩn đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như hình học đại số, lý thuyết số tổ hợp, và lý thuyết đồ thị. Luận văn tập trung nghiên cứu hai định lý cơ bản của Hilbert về cơ sở và không điểm, đồng thời phát triển các phương pháp tính nghiệm gần đúng cho các phương trình phi tuyến, nhằm cung cấp công cụ giải quyết các bài toán thực tế và hỗ trợ giảng dạy môn Toán ở bậc trung học phổ thông.
Mục tiêu nghiên cứu là phân tích sâu về các định lý Hilbert, mở rộng trường đại số, khái niệm phụ thuộc đại số, cũng như ứng dụng kết thức và phép khử trong giải hệ phương trình đa thức. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các trường hợp đa thức một biến và đa biến trong trường mở rộng của trường cơ sở K, với các ví dụ minh họa cụ thể và các phương pháp tính nghiệm gần đúng như phương pháp truy hồi, dây cung, và tiếp tuyến Newton.
Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các phương pháp giải gần đúng hiệu quả, giúp học sinh và giáo viên nâng cao khả năng xử lý các bài toán phức tạp, đồng thời mở rộng kiến thức về đại số và tính toán số học. Các chỉ số đánh giá hiệu quả bao gồm độ chính xác của nghiệm gần đúng, tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp, và khả năng áp dụng trong giảng dạy.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Khung lý thuyết áp dụng
Luận văn dựa trên hai định lý cơ bản của Hilbert: Định lý cơ sở và Định lý không điểm. Định lý cơ sở Hilbert khẳng định rằng mỗi iđêan khác không và không phải toàn bộ trong vành đa thức K[x1, x2, ..., xn] đều có hệ sinh hữu hạn, tạo nền tảng cho việc xử lý các hệ phương trình đa thức. Định lý không điểm Hilbert liên quan đến sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình đa thức trong trường đóng đại số, đặc biệt là trường phức C.
Ngoài ra, luận văn sử dụng các khái niệm chính như mở rộng trường đại số, phần tử đại số và siêu việt, phụ thuộc đại số và độc lập đại số, kết thức (resultant) và biệt thức (discriminant) của đa thức, cũng như phép biến đổi Tschirnhaus để biến đổi và giải các phương trình đa thức bậc cao.
Các mô hình nghiên cứu bao gồm việc xây dựng trường mở rộng K(γ) chứa nghiệm của đa thức bất khả quy, phân tích tính chất của các đa thức tối tiểu, và áp dụng kết thức để xác định điều kiện tồn tại nghiệm chung của hai đa thức. Phương pháp biến đổi Tschirnhaus được sử dụng để đơn giản hóa phương trình đa thức bậc ba và bậc cao hơn.
Phương pháp nghiên cứu
Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các tài liệu toán học chuyên sâu, các định lý và chứng minh trong đại số, cùng với các ví dụ minh họa thực tế từ các bài toán đa thức và hệ phương trình. Phương pháp phân tích bao gồm chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp, sử dụng phép biến đổi đại số, và áp dụng các công cụ đại số máy tính như kết thức và phép khử.
Cỡ mẫu nghiên cứu là các đa thức và hệ đa thức với số biến từ một đến nhiều biến, được chọn mẫu theo tính phổ biến và tính ứng dụng trong toán học phổ thông và đại học. Phương pháp chọn mẫu dựa trên tính đại diện cho các dạng phương trình thường gặp trong giảng dạy và nghiên cứu.
Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng thời gian từ năm 2013 đến 2015, với các giai đoạn chính gồm tổng hợp lý thuyết, phát triển phương pháp tính nghiệm gần đúng, và kiểm nghiệm qua các ví dụ minh họa.
Kết quả nghiên cứu và thảo luận
Những phát hiện chính
-
Mở rộng trường đại số và định lý Hilbert: Luận văn chứng minh rằng với mỗi đa thức bất khả quy bậc n > 0 trong K[x], tồn tại trường mở rộng K(γ) sao cho đa thức có nghiệm γ trong trường này. Mở rộng này là mở rộng đơn có bậc n, và mọi phần tử trong K(γ) biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các lũy thừa γ với hệ số trong K.
-
Định lý cơ sở Hilbert: Mỗi iđêan I khác không và không phải toàn bộ trong vành đa thức K[x1, ..., xn] đều có hệ sinh hữu hạn. Điều này được chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo số biến, với các hệ sinh hữu hạn được xây dựng từ các đa thức có bậc thấp nhất.
-
Kết thức và điều kiện nghiệm chung: Hai đa thức fa và gb có nghiệm chung trong trường mở rộng K* khi và chỉ khi kết thức Res(fa, gb) = 0. Kết thức được biểu diễn qua định thức Sylvester và có thể tính toán thông qua các hệ số đa thức. Ví dụ, với đa thức bậc hai f(x) = x² + ax + b và g(x) = x² + px + q, điều kiện có nghiệm chung là Res(f, g) = 0, tương đương với một đa thức bậc bốn về các hệ số.
-
Phương pháp tính nghiệm gần đúng: Luận văn trình bày các phương pháp truy hồi, dây cung và tiếp tuyến Newton để tính nghiệm gần đúng của các phương trình phi tuyến. Ví dụ, với phương trình x² + x − 1 = 0, dãy lặp truy hồi an+1 = 1/(an + 1) hội tụ nhanh đến nghiệm dương với sai số giảm theo cấp số nhân. Tương tự, phương pháp dây cung và tiếp tuyến Newton được minh họa qua các ví dụ cụ thể, cho thấy tốc độ hội tụ và độ chính xác cao.
Thảo luận kết quả
Nguyên nhân các kết quả trên xuất phát từ tính chất đại số của các đa thức và cấu trúc trường mở rộng, cho phép biểu diễn nghiệm và các phần tử liên quan một cách rõ ràng. Việc chứng minh định lý cơ sở Hilbert bằng quy nạp cho thấy tính tổng quát và khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều biến.
So sánh với các nghiên cứu khác, luận văn đã mở rộng và làm rõ các phương pháp giải gần đúng, đặc biệt là việc áp dụng kết thức và phép khử để giảm hệ đa biến về đa thức một biến, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán. Các phương pháp lặp được đánh giá cao về tính hiệu quả và khả năng áp dụng trong giảng dạy.
Ý nghĩa của các kết quả này không chỉ nằm ở mặt lý thuyết mà còn hỗ trợ trực tiếp cho công tác giảng dạy toán học phổ thông và đại học, giúp học sinh và sinh viên hiểu sâu hơn về cấu trúc đại số và kỹ thuật giải phương trình phức tạp.
Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ hội tụ của dãy lặp, bảng so sánh sai số giữa các phương pháp, và sơ đồ minh họa cấu trúc trường mở rộng, giúp người đọc dễ dàng hình dung và đánh giá hiệu quả.
Đề xuất và khuyến nghị
-
Phát triển phần mềm hỗ trợ giải phương trình đa thức: Xây dựng công cụ tính toán tự động sử dụng kết thức và phép khử để giải hệ phương trình đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong giảng dạy và nghiên cứu. Thời gian thực hiện dự kiến 12 tháng, chủ thể thực hiện là các nhóm nghiên cứu toán học ứng dụng.
-
Tổ chức các khóa đào tạo về phương pháp tính nghiệm gần đúng: Đào tạo giáo viên và sinh viên về các phương pháp truy hồi, dây cung, và tiếp tuyến Newton, giúp nâng cao kỹ năng giải toán thực tế. Thời gian 6 tháng, do các trường đại học và trung tâm đào tạo chuyên ngành đảm nhiệm.
-
Mở rộng nghiên cứu về ứng dụng định lý Hilbert trong các lĩnh vực khác: Khuyến khích nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng trong lý thuyết số tổ hợp, lý thuyết đồ thị và tổ hợp, nhằm khai thác tối đa tiềm năng của các định lý này. Thời gian nghiên cứu 18 tháng, do các viện nghiên cứu toán học chủ trì.
-
Phát triển tài liệu giảng dạy tích hợp lý thuyết và thực hành: Soạn thảo giáo trình và bài tập thực hành về phương trình đại số và tính nghiệm gần đúng, phù hợp với chương trình trung học phổ thông và đại học. Thời gian 9 tháng, do các khoa toán các trường đại học phối hợp thực hiện.
Đối tượng nên tham khảo luận văn
-
Giáo viên Toán trung học phổ thông: Nâng cao kiến thức về đại số và phương pháp giải phương trình, hỗ trợ giảng dạy chuyên sâu và phát triển kỹ năng giải bài tập phức tạp.
-
Sinh viên ngành Toán và Toán ứng dụng: Hiểu rõ các định lý cơ bản và phương pháp tính nghiệm gần đúng, phục vụ cho học tập và nghiên cứu chuyên sâu.
-
Nhà nghiên cứu toán học: Khai thác các kết quả về mở rộng trường đại số, kết thức và phép khử để phát triển các công trình nghiên cứu mới trong đại số và hình học đại số.
-
Kỹ sư và chuyên gia công nghệ thông tin: Áp dụng các phương pháp giải phương trình và tính nghiệm gần đúng trong các bài toán thực tế như mô phỏng, tối ưu hóa và xử lý tín hiệu.
Câu hỏi thường gặp
-
Định lý cơ sở Hilbert có ý nghĩa gì trong giải hệ phương trình?
Định lý khẳng định rằng mỗi iđêan trong vành đa thức có hệ sinh hữu hạn, giúp giảm số lượng đa thức cần xét khi giải hệ, từ đó đơn giản hóa quá trình tính toán và phân tích nghiệm. -
Kết thức được sử dụng như thế nào để xác định nghiệm chung của hai đa thức?
Kết thức Res(f, g) bằng 0 là điều kiện cần và đủ để hai đa thức f và g có nghiệm chung trong trường mở rộng, cho phép xác định nghiệm mà không cần giải trực tiếp. -
Phương pháp truy hồi có ưu điểm gì trong tính nghiệm gần đúng?
Phương pháp này đơn giản, dễ thực hiện và có thể hội tụ nhanh nếu hàm lặp thỏa mãn điều kiện Lipschitz, giúp tìm nghiệm gần đúng hiệu quả. -
Phép biến đổi Tschirnhaus giúp gì trong giải phương trình bậc ba?
Phép biến đổi này cho phép biến đổi phương trình ban đầu thành dạng đơn giản hơn, thường là loại bỏ bậc hai, giúp dễ dàng giải và phân tích nghiệm. -
Làm thế nào để áp dụng phép khử trong giải hệ phương trình đa biến?
Phép khử sử dụng kết thức để loại bỏ một biến, chuyển hệ đa biến thành đa thức một biến, từ đó giải dễ dàng hơn và tìm nghiệm chính xác hoặc gần đúng.
Kết luận
- Luận văn đã làm rõ vai trò quan trọng của định lý Hilbert về cơ sở và không điểm trong đại số và giải hệ phương trình đa thức.
- Phát triển thành công các phương pháp tính nghiệm gần đúng như truy hồi, dây cung và tiếp tuyến Newton với minh họa cụ thể.
- Áp dụng kết thức và phép khử hiệu quả trong việc xác định điều kiện nghiệm chung và giải hệ đa thức.
- Đề xuất các giải pháp ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo và nghiên cứu toán học.
- Khuyến nghị tiếp tục mở rộng nghiên cứu và phát triển công cụ hỗ trợ tính toán, đồng thời tổ chức đào tạo chuyên sâu cho giáo viên và sinh viên.
Hành động tiếp theo là triển khai các đề xuất về phát triển phần mềm và đào tạo, đồng thời áp dụng các phương pháp nghiên cứu vào giảng dạy thực tế để nâng cao hiệu quả học tập và nghiên cứu.