Chương 1 KIÊN THỨC CHUÁN BỊ 1.1 Đatạp Định nghĩa 1. Cho (M,T) la một không gian tôpô Hausdorff, có một cơ sở đếm được. MÔ được gọi là một da tạp tôpô nếu ton tại một số tự nhiên n và với mỗi điểm peM có một lân cận mở U của p, một ánh xạ @:U >" mà là đông phôi lên ảnh QU) của nó. Cap (U,x) được gọi là một bản đồ địa phương (manh toa độ] trên M, SỐ tự nhiên n được gọi là chiếu của M.
Dé ký hiệu chiếu của M là n ta việt M". Mot tập con N cua M được gọi là đa tap con nếu với môi pen ton tại mot ban do (U,,@,) sao cho peU, va g,:U, +R" xR thoả mãn: ewe 9U,AN)=9,U JOR’ xi0). Cho M là một da tap kha viva peM. e(p) tập các hàm giá trị thực kha vi trên mot lân cận mở của p.
Một vectơ tiếp Xúc X, lại p là ánh xạ X„:e(p) oR thoa man: i) XA fem gaa X (f+ ueX,(g)- ii) X,(f-#)=X,„(Œ)-e(p)+ f(p)-X,(&). Tập hợp tất cả các vec tơ tiếp xúc tại p được gọi là không gian tiếp xúc tại p ký hiệu TM. Cho ó:M >N là ánh xạ kha vi giữa hai da tap. Khi đó vi phan dg, của @® tại peM là ánh xạ d¢,:T,M >T,.N sao cho với mọi X,eT,M và ƒce(j(p)) thì (dg„(X„))(7)= X,„(7°4).
Mor ánh xạ kha ví §:M ON giữa các da tạp được gọi là phép dim nếu với mỗi peM vi phân độ, :T,M —>T,.N dint là đơn ánh. Một phép nhúng là một phép dim ¢:M — N mà dong phôi lên ảnh ó(M) của nó. Mot ánh xạ ¢:N" OM" giữa các da tạp được gọi là phép ngập (submersion) nếu với mỗi peN_ có vi phân dạ :T,N —>T,„M sip? là toàn ánh.2 Móc Lie - Dao ham Lie Định nghĩa 1. Cho M là một da tap trơn.
Voi 2 trường vecto X,Y <= 7(M) ta định nghĩa moc Lie [X,Y] :C”(M)—> cua X,Y tai peM bởi [x. Một dong trên X là một tác động nhóm của nhóm công các số thực trên X. Rõ ràng hơn một dòng là một ánh xạ @: Xx->X sao cho với mọi xEX và với moi so thực s vat: @(x,0) =x, Ø@(@(x,/). Cho X là một trường vectơ trơn trên đa tạp M, , la dong địa phương của X.
Ta định nghĩa đạo ham Lie của trường ten xơ K theo trưởng vectơ X £,K =lim t0 be). Một nhóm Lie là một da tạp trơn G với cấu trúc nhóm sao cho ánh xạ @:ŒGxŒG->GŒ với ánh xạ p:(p.q) > p-q ` là ánh xạ trơn. Cho G là một nhóm Lie và g là một tập hợp các trường vec tơ bat biển trái của G. Khi đó g là một đại số con của T(TG), nghĩa là nếu X.
Đại số ¢ được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G.3 Đạo hàm ngoài Định nghĩa 1. Một p-dạng trên M la ánh xạ @:M—>A°M sao cho @,€ A" (T/M ) với mọi x. Cho X là mét trường vecto trên M. Dao ham Lie theo một dạng ngoài @ được cho bởi công thức: d L,@ ==- @,(@ at}.
14 Khong gian phủ Dinh nghĩa 1. Cho X la không gian topo. Không gian phú của X là không gian ~ X cùng với toàn ánh liên tục p: X +X thỏa với mỗi xexX tôn tại một lân cận mở U của x sao cho p`(U) ( anh ngược của U qua p) là hợp của các tập rời nhau trong X. Các tập này đồng phôi với U qua p.1 Cho p:E-»X là ánh xạ phủ.
Deck transformation là một đẳng cấu ƒ:E ->E sao cho p°ƒ=p. Tập tất cá các deck transformation của p tạo thành một nhóm với phép toán là phép hợp thành. Nhóm đó được gọi là nhóm deck transformation. Đôi khi Aut(p) được gọi là nhóm Galois của phủ, Mệnh đề 1.
Cho Sf, Aut(p). Nếu tốn tại eeE sao cho ((e)= f(e) thì f= f,. Đặc biết, néu ƒ(e)=e với eeE thì fi =id. Cho e,c6<E thỏa ple)= ple’).
Khi đó điều kiện cần và dt để ton tại feAut(p) sao cho ƒ(e)=e' là. Chương 2 PHÂN LÁ CHÍNH QUY 2.1 Atlas phân lá Cho M là một đa tạp trơn n chiều. Atlas phân lá đối chiều q (ŠSgŠn }của M là một atlas (ø,:U, > R"=R"xR*) của M sao cho phép biến đôi tọa độ @¡ có dạng biêu diễn địa phương là Q(X.h, (y)) tương ứng với R° = R"* xR’.1 Ban đồ của một atlas phân lá được gọi là bản đồ phân lá. Mỗi U, được chia thành các tam là các thành phan liên thông của các đa tạp con @ '(R" *x{ y}).
yeÏl3? và việc phân chia này được bảo toàn qua phép biến đôi tọa độ (xem hình 1. Các tắm kết hợp với nhau tạo thành các /d. Lá là các đa tạp trơn n—g chiều được nhúng một cách đơn ánh vào M. Nói cách khác, hai điểm x, ve M nằm trên cũng một lá nếu tồn tại các bản đồ phân lá U,.U, và các điểm X= Pgs Piss Py =y sao cho p,_, và p, thuộc cùng một tâm trong U, với lsjsk.
Hai atlas được gọi là tương đương (hoặc tương thích) nêu hợp của chúng cũng là một atlas Hình 1.„} cũng là một atlas, nói cách khác nó là một bản đồ của atlas đã cho. Atlas phân lá toi đại A liên kết với một atlas phân lá A là atlas gồm tất cá các bản đỗ tương thích với A.2 Phân lá Phân lá đối chiều g của M là atlas phân lá tôi đại có đối chiêu g của M. Mỗi atlas phân lá xác định một phân lá, vì nó có duy nhất một atlas phân lá tôi đại. Hai atlas phân lá xác định cùng một phân lá của M_ nếu sự phân hoạch M thành các lá bởi hai atlas đó là giỗng nhau.
Da tạp phân lá (tron) là cặp (M,F)., trong đó M là da tạp trơn và Z là một phân lá của M. Không gian các lá M/ của đa tạp phan lá là không gian thương của M thu được bằng cách đồng nhất hai điểm của M_ nếu chúng cùng thuộc một lá của Z. Một ánh xạ (trơn) giữa các đa tạp phân lá ƒ ;(ă,Z )—>(M”,Z”) là ánh xạ (trơn) ƒ:M ->N mà ƒ bảo toàn cấu trúc phân lá, nghĩa là ƒ biến các lá của # thành các lá của 7“.3 Một số ví dụ Ví dụ 1. Không gian %° có một phân lá tầm thường có đối chiều g mà atlas của nó chỉ chứa ban đỗ duy nhất là ánh xạ đồng nhất id:R" > RR".
Trong phân lá đó, các lá là các (n—g)—phang có dạng '#*ˆ*x{e) với ce RR’. Vị phôi h:U CR" >V CR" bảo toàn các lá của phân lá này có dạng h(x, y) =(h (x, y),A, Gy vy), Gy)c l#”?!xR!, Hinh 1. Phan lá được định nghĩa bởi phép ngập. Cho f:M“ =>” là một phép ngập và /eŒf(M).
Từ dang địa phương của phép ngập ta có với peM. Do đó các ban đồ (U,ø) xác định một cau trúc phân lá mà trong đó các lá là các thành phần tiên thông của các tập đồng mức.4 Đề rõ hơn ta xét ví dụ sau: l0 Cho ƒ:RÌ->E là một phép ngập với /(x,x;,x,)=œ(Œ?)e" trong đó r= và a: IR là một ham trơn thoả ø(1)=0,øđ(0)=1 và với r>0 thì z)<0. Gọi Z là phân lá của BR? có các lá là thành phân liên thông của các đa tạp con ƒ '(c),c<. Các lá của F thuộc phan trong của khối trụ €=((x,.x,)IxŸ+x‡ <1} đồng phôi với E? và được tham số hoá bởi (x,,x,)€ DỶ Bè (x, x,,log(clatr’))), với c>0.
Khi đó biên của € là êC ={(x,,x;,x;)l x' + xỶ =1} cũng là một lá. Bên ngoài € các lá đồng phôi với mặt trụ (xem hình 1. Phân lá liên kết với phép ngập được gọi là phản lá đơn. Phân lá liên kế ngập với các thé liên thông được gọi là phan la đơn ngặt.
Một phân lá đơn là phân lá đơn ngặt nếu không gian các lá là Hausdoff. Cho a là một số vô tỷ. Xét phép ngập s: # +R được cho bởi s(x. Như ví dụ 2, ta có F(s) là một phân lá của BR".
Cho ƒ:/? > 7? =S'xS' là một phép chiếu phủ chuẩn của hình xuyến, nghĩa là ƒ (x,y)=(e 8£), Phân lá Z(s) sinh ra một. ` 1 phân lá F của 7?: Nếu ø là một ban dé phân lá của F(s)sao cho ( f| ¬" là một bản đô phân lá của Z. Một lá bat kì thì vi phôi với % và trù mật trong 7°. Phân lá Kronecker của hình xuyến.
Phân lá của không gian phân thớ. Các thé của không gian phân thé ( E,z. F) xác định một phân lá trên E mà các lá của nó vi phôi với các thành phan liên thông của F. Một không gian phân thé (E.F} gồm các đa tạp khả vi £.B,F và phép ngập z:E—> sao cho với mọi beB, ton tại một lân cận mở U, của 6 và một vi phôi ø, :z” (U,)>U,xF làm cho hai tam giác sau giao hoán: £ (Uy) ————————>+> Usx F \ “ U, trong đó p, là phép chiều lên thành phan thứ nhất.
Các thé của phân thé lả các đa tap con r'(b). Gọi f:R? >Aƒ là phép chiều phủ chuân của bó Môbius (mở): f(x,y) =f". y’) nếu x—xe# và y'=(-l)”*y. Phân lá tầm thường đối chiều / của /#? sinh ra một phân thé F của M giống như ví dụ 3.
Mọi lá Z vi phôi đối với §' và chúng quan quanh M hai lần trừ lá “ chính giữa” chi quan quanh M một lần. Phân lá của bó Môbius. Phân lá Reeb của S* và khối xuyén. Xét phép ngập ƒ:D`xR~R,/(x.x,}= ae", trong đó zơ)=exp(~exp(1/(1~rˆ)Ì}.
Phân lá được xác định bởi ƒ có các lá là đồ thị của các hàm x, =exp(I/(L~r°)Ì+b.belE và phân lá này được mo rộng thành một phân lá trơn trong ï#` có các lá nằm bên trong D°x là các mặt trụ xd td =r? > 1, Trên D? x[0:1] ta đồng nhất các điểm biên như sau: (x,.0} khi và chỉ khi (x,.9,)- Da tap thương D* x[0,1]/= vi phôi với 2°x$” và do phân lá được định nghĩa trên D> xR không đôi qua phép tịnh tiễn dọc theo tia x, (nghĩa là phép tinh tiên này biến các lá thành các 14), nên nó cảm sinh ra một phân lá trơn R trên Ðx$'. Và R được gọi là phân lá Reeb (định hướng) của D'xS', Đối với phân lá này, biên 0(D*xS')=S'xS' là một lá. Hơn nữa các lá khác đồng phôi với 8`. Dễ thay phân lá này không được xác định bởi một phép ngập.
Nếu trên а x[0,1] ta xét quan hệ: (x,,x,,0} ~(y,,y,.1) khi và chỉ khi (x,,.11/~ là một đa tạp không định hướng 3-chiều K". có biên vi phôi với chai Klein. Vì cách xây dựng này bảo toàn phân lá trên 2” x3, nên nó cảm sinh một phân 13 lá ? của KỶ, và phan lá này được gọi là phân la Reeb không định hướng cia K`.