Tổng quan về luận án

Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (PDEs) loại parabolic phi tuyến là một trong những hướng trọng tâm của Toán học hiện đại, giao thoa giữa giải tích hàm, lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều và vật lý toán học. Luận án tiến sĩ "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình parabolic phi tuyến" của nghiên cứu sinh Trần Thị Quỳnh Chi, thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Cung Thế Anh, giải quyết ba research gap cốt lõi chưa được tiếp cận triệt để trong văn chương toán học quốc tế.

Research gap thứ nhất: Lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính chứa toán tử p-Laplace có trọng với điều kiện phi tuyến tăng trưởng tùy ý — vượt qua giới hạn bậc đa thức Sobolev mà phần lớn tài liệu trước đây (xem [12, 17, 49, 56]) áp đặt — trên miền bị chặn chưa được khảo sát đầy đủ về sự tồn tại tập hút toàn cục. Research gap thứ hai: Lớp phương trình không ôtônôm suy biến trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ ($N \geq 3$) thiếu điều kiện compact của phép nhúng Sobolev thông thường, đặc biệt khi hệ số khuếch tán $a(x)$ không bị hạn chế bởi dáng điệu tại vô cùng — một vấn đề mở so với kết quả của Ke và cộng sự (xem [4, 5]) và nhóm tác giả tài liệu [23, 24] trong trường hợp nửa tuyến tính. Research gap thứ ba: Lớp hệ phương trình phản ứng-khuếch tán với phần phi tuyến kiểu mũ $f(u,v) = e^u$ — trường hợp không thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc đa thức kiểu Sobolev chuẩn tắc được sử dụng trong [38, 58] — chưa được giải quyết về sự tồn tại tập hút và tính ổn định mũ nghiệm dừng.

Luận án định vị trong paradigm positivist–constructive, áp dụng lý thuyết giải tích hàm phi tuyến và hệ động lực vô hạn chiều để xây dựng các kết quả tồn tại, duy nhất và tính compact tiệm cận trong các không gian hàm Sobolev có trọng. Phạm vi nghiên cứu bao gồm ba lớp bài toán cụ thể trên miền $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu $u_0 \in L^2(\Omega)$, cùng mở rộng sang toàn không gian $\mathbb{R}^N$ ($N \geq 3$) trong nội dung thứ hai.

Literature Review và Positioning

Lý thuyết tập hút toàn cục cho phương trình parabolic nửa tuyến tính đã được phát triển mạnh mẽ qua các chuyên khảo của Temam (1988), Hale (1988), Robinson (2001) và Chueshov (2002) (tham khảo [12, 17, 49, 56]). Tuy nhiên, phần lớn kết quả tập trung vào phương trình vô hướng với phi tuyến bậc đa thức và toán tử khuếch tán không suy biến.

Đối với trường hợp suy biến, Caldiroli và Musina (xem [10]) đã xây dựng không gian Sobolev có trọng $D^{1,2}_0(\Omega; a)$ cho bài toán elliptic chứa $-\text{div}(a(x)\nabla u)$, đặt nền tảng cho mọi phát triển tiếp theo. Tiếp nối, Ke và cộng sự (tài liệu [4, 5]) nghiên cứu dáng điệu nghiệm khi $t \to \infty$ cho lớp phương trình chứa toán tử p-Laplace suy biến kiểu Caldiroli–Musina, xây dựng không gian Sobolev có trọng $M^{1,p}0(\Omega, a)$ và thiết lập các định lý nhúng tương thích. H. và cộng sự (tài liệu [27]) mở rộng tính suy biến với điều kiện $(H_1)$: hàm $a \in L^1{\text{loc}}(\Omega)$, $a(x) = 0$ với $x \in \Sigma$ ($\Sigma$ đóng, $m(\Sigma) = 0$), và $a(x) > 0$ với $x \in \Omega \setminus \Sigma$, thu được kết quả tồn tại nghiệm yếu và tập hút toàn cục trong $L^p(\Omega)$ và $H^{1,a}_0(\Omega)$ với phi tuyến thỏa mãn $C_1|u|^p - C_0 \leq f(u)u \leq C_1|u|^p + C_0$, $p \geq 2$.

Hai quan điểm đối lập nổi bật trong văn chương: (i) nhóm nghiên cứu theo hướng Chai (tài liệu [41]) chứng minh sự tồn tại nghiệm entropy và tập hút trong $L^1(\Omega)$ với điều kiện tích phân $\int_\Omega [a(x)]^{-1/\gamma}dx < \infty$; (ii) nhóm nghiên cứu theo hướng Ke–Phong (tài liệu [1, 5]) làm việc trong không gian năng lượng $M^{1,p}0(\Omega, a)$ với điều kiện compact phép nhúng. Mâu thuẫn cốt lõi nằm ở điều kiện dáng điệu của $a(x)$ tại vô cùng: điều kiện $(H{\alpha,\beta})$ của Ke yêu cầu $a(x)/|x|^\beta \to c > 0$ với $\beta > p + \frac{N}{2}(p-2)$ khi $|x| \to \infty$, hạn chế đáng kể lớp hàm cho phép.

So sánh quốc tế: Nghiên cứu của Ding và Zhong (Trung Quốc, 2018) về tập hút toàn cục cho phương trình parabolic suy biến trong $L^2$ đòi hỏi phi tuyến bậc đa thức; nghiên cứu của Caraballo và cộng sự (Tây Ban Nha, 2021) về tập hút lùi cho phương trình không ôtônôm sử dụng giả thiết compact phép nhúng tiêu chuẩn. Luận án vượt qua cả hai trường hợp bằng cách thiết lập điều kiện $(H)$ mới cho $a(x)$ — thay thế giả thiết dáng điệu tại vô cùng bằng điều kiện khả tích địa phương bậc cao hơn — và loại bỏ hạn chế bậc tăng trưởng của $f$.

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án đóng góp vào ba lý thuyết được đặt tên cụ thể:

1. Lý thuyết tập hút toàn cục (Temam 1988; Hale 1988): Định lý 2.2 (Chương 2) chứng minh nửa nhóm ${S(t)}{t \geq 0}$ trên $L^2(\Omega)$ sinh bởi bài toán (2.1) possesses tập hút toàn cục $\mathcal{A}{L^2}$ trong $L^2(\Omega)$ và $\mathcal{A}{M^{1,p}0}$ trong $M^{1,p}0(\Omega, a)$, mà không giả thiết hạn chế bậc tăng trưởng của $f$ — một bước đột phá so với [27, 38, 58]. Bằng chứng: đánh giá tiên nghiệm $|u(t)|^2{L^2(\Omega)} \leq \rho_0$ với mọi $t \geq T_1(B)$, và ước lượng $|L{p,a}u(t)|^2{L^2(\Omega)} \leq \rho_4$ với mọi $t \geq T_3$.

2. Lý thuyết tập hút lùi (Cheban 2004; Kloeden–Rasmussen 2011): Định lý 3.1 (Chương 3) thiết lập sự tồn tại tập hút lùi duy nhất $\hat{\mathcal{A}} = {A(t) : t \in \mathbb{R}}$ cho quá trình hai tham số $U(t, \tau)$ trong ba không gian $L^2(\mathbb{R}^N)$, $L^q(\mathbb{R}^N)$, và $M^{1,p}_0(\mathbb{R}^N, a)$ đồng thời — kết quả chưa từng đạt được trong trường hợp tựa tuyến tính trên miền không bị chặn.

3. Lý thuyết ổn định nghiệm dừng (Lyapunov 1892; Henry 1981): Định lý 4.4 (Chương 4) chứng minh nghiệm dừng $(u^, v^)$ của hệ phản ứng-khuếch tán với phi tuyến kiểu mũ là ổn định mũ theo nghĩa $|u(t) - u^|^2 + |v(t) - v^|^2 \leq Ce^{-\gamma t}$ với hằng số $\gamma > 0$ tường minh.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của luận án tích hợp ba lý thuyết:

  • Lý thuyết không gian Orlicz — xử lý phi tuyến tăng trưởng tùy ý không có bậc đa thức cố định;
  • Lý thuyết toán tử đơn điệu (Brezis 1973; Lions 1969) — chứng minh tính đặt chỉnh thông qua phép xấp xỉ Galerkin trong không gian $M^{1,p}_0(\Omega, a)$;
  • Lý thuyết độ đo không compact Kuratowski — thay thế tính compact trực tiếp của phép nhúng Sobolev trong trường hợp miền không bị chặn.

Điều kiện $(H)$ mới cho hệ số khuếch tán $a(x)$ là đóng góp khung phân tích quan trọng nhất: thay vì yêu cầu $a(x)/|x|^\beta \geq c > 0$ với $\beta > p + \frac{N}{2}(p-2)$ (điều kiện $(H_{\alpha,\beta})$ của Ke), luận án chỉ yêu cầu $\sup_{m \geq M_0} \int_{m \leq |x| \leq 2m} [a(x)]^{\frac{2p-2}{p-2}} dx < \infty$ — điều kiện yếu hơn nhiều, chấp nhận ví dụ $a(x) = e^{-|x|}|x|^\alpha + |x|^\gamma$ ($\alpha, \gamma \in (0,p)$) mà điều kiện cũ không bao phủ.

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Luận án áp dụng triết học nghiên cứu kiến tạo–toán học (constructivist–mathematical positivism), kết hợp chứng minh tồn tại với phân tích tiệm cận định lượng. Thiết kế đa tầng bao gồm:

  • Tầng 1: Tính đặt chỉnh (well-posedness) — tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu;
  • Tầng 2: Tính hấp thụ — xây dựng tập hấp thụ bị chặn;
  • Tầng 3: Tính compact tiệm cận — chứng minh compact tương đối của quỹ đạo;
  • Tầng 4: Cấu trúc tập hút — xác định tính bất biến và tính hút.

Quy trình nghiên cứu rigorous

Phương pháp xấp xỉ Galerkin: Nghiệm xấp xỉ $u_n(t) = \sum_{l=1}^n u_n^l(t) e_l$ được xây dựng trong không gian con hữu hạn chiều trên cơ sở hệ véc-tơ riêng ${e_l}$ của toán tử $L_{p,a}$, trực chuẩn trong $L^2(\Omega)$. Hệ ODE Galerkin được giải theo định lý Peano.

Phương pháp compact (tham khảo Lions 1969, Aubin–Lions–Simon): Định lý Aubin–Lions–Simon được áp dụng thông qua phép nhúng compact $M^{1,p}_0(\Omega, a) \hookrightarrow\hookrightarrow L^2(\Omega) \hookrightarrow M^{-1,p'}(\Omega, a) + L^1(\Omega_T)$, đảm bảo compact trong $L^2(0,T; L^2(\Omega))$.

Phương pháp nửa nhóm (tham khảo Pazy 1983): Sau khi thiết lập tính đặt chỉnh, ánh xạ $S(t): L^2(\Omega) \to L^2(\Omega)$, $u_0 \mapsto u(t)$ tạo thành nửa nhóm liên tục phục vụ xây dựng tập hút.

Kiểm tra tính hợp lệ: Tính valid construct được đảm bảo qua: (i) phép nhúng $M^{1,p}0(\Omega, a) \hookrightarrow W^{1,\beta}0(\Omega)$ liên tục với $1 \leq \beta \leq \frac{pN}{N+\alpha}$ (Mệnh đề 2.1); (ii) bất đẳng thức Poincaré tổng quát $c_0|u|^2{L^2(\Omega)} \leq |u|{M^{1,p}_0(\Omega,a)}$; (iii) bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân và tích phân để đóng các ước lượng tiên nghiệm.

Tam giác hóa: Kết quả được kiểm chứng bằng ba nguồn độc lập: phân tích giải tích thuần túy, phép so sánh với bài toán tương ứng $p = 2$ (phương trình nửa tuyến tính đã biết), và kiểm tra tính chính xác thứ nguyên trong các không gian hàm.

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

Phát hiện 1 (Chương 2): Tập hút toàn cục tồn tại trong $L^2(\Omega)$ và $M^{1,p}0(\Omega, a)$ đồng thời với phi tuyến $f$ thỏa mãn $f(u) \cdot u \geq \mu|u|^2 - c_1$ và $|f'(u)| \leq c_1(1 + A e^{\mu|u|})$ — lớp hàm bao gồm $f(u) = e^u - u$ vượt ngoài mọi điều kiện đa thức. Ước lượng cụ thể: $|S(t)u_0|^2{L^2(\Omega)} \leq \rho_0$ với mọi $t \geq T_1(B)$, và $|L_{p,a}u(t)|^2_{L^2(\Omega)} \leq \rho_4^{2(p-1)}$ với mọi $t \geq T_3$.

Phát hiện 2 (Chương 3): Tập hút lùi duy nhất $\hat{\mathcal{A}} = {A(t)}{t \in \mathbb{R}}$ tồn tại trong $M^{1,p}0(\mathbb{R}^N, a) \cap L^q(\mathbb{R}^N) \cap L^2(\mathbb{R}^N)$ dưới điều kiện $(H)$ mới — loại bỏ hoàn toàn giả thiết dáng điệu tại vô cùng của $a(x)$. Đây là phát hiện đột phá nhất vì điều kiện $(H)$ được thay thế bằng: $\sup{m \geq M_0} \sup{m \leq |x| \leq 2m} a(x) < \infty$ hoặc $\sup_{m \geq M_0} \int_{m \leq |x| \leq 2m} [a(x)]^{\frac{2p-2}{p-2}} dx < \infty$ — yếu hơn đáng kể so với $(H_{\alpha,\beta})$.

Phát hiện 3 (Chương 4): Tập hút toàn cục trong $(L^2(\Omega))^2$ và trong trường hợp hệ gradient tồn tại cho hệ phương trình phản ứng-khuếch tán với $f(u,v) = e^u$ và $h(u,v) = e^v$ — phần phi tuyến không thỏa mãn bất kỳ điều kiện tăng trưởng đa thức nào. Kết quả đảo ngược kết luận phổ biến rằng phi tuyến kiểu mũ không cho phép cấu trúc tập hút compact.

Phát hiện 4 (counter-intuitive): Nghiệm dừng $(u^, v^)$ của hệ phản ứng-khuếch tán với phi tuyến mũ là ổn định mũ với tốc độ suy giảm $\gamma > 0$ tường minh, mặc dù toán tử phi tuyến không Lipschitz cục bộ theo nghĩa thông thường — bác bỏ quan niệm rằng phi tuyến mũ tất yếu dẫn đến nghiệm blow-up.

Implications đa chiều

Lý thuyết: Kết quả mở rộng lý thuyết Temam–Hale sang lớp toán tử suy biến với phi tuyến siêu tới hạn; đặt nền tảng cho lý thuyết tập hút lùi trong không gian Sobolev có trọng trên miền không bị chặn.

Phương pháp luận: Kỹ thuật điều kiện $(H)$ có thể áp dụng cho các lớp phương trình suy biến khác (p-Laplace phân số, toán tử Baouendi–Grushin) trong các bối cảnh khác nhau.

Ứng dụng thực tiễn: Phương trình parabolic suy biến mô tả quá trình khuếch tán trong môi trường không đồng nhất (vật liệu xốp, chất cách điện lý tưởng); kết quả tồn tại tập hút cung cấp cơ sở lý thuyết dự đoán trạng thái cân bằng dài hạn của các hệ vật lý–sinh học này.

Khuyến nghị chính sách khoa học: Cần tăng cường nghiên cứu lớp phương trình suy biến không ôtônôm trên miền không bị chặn — một khoảng trống lớn trong tài liệu quốc tế hiện tại.

Limitations và Future Research

Hạn chế 1: Chương 2 chỉ xét miền $\Omega$ bị chặn. Bản thân luận án thừa nhận: "Vấn đề được quan tâm ở đây liệu có thể mở rộng kết quả đạt được trong chương này với miền $\Omega$ là không bị chặn. Trường hợp này, bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều do thiếu tính compact của phép nhúng kiểu Sobolev."

Hạn chế 2: Kết quả Chương 3 giả thiết $2 \leq p < N$ và $N \geq 3$, bỏ qua trường hợp $p = N$ (trường hợp tới hạn Sobolev) và $N = 2$ (chiều thấp).

Hạn chế 3: Ước lượng bán kính tập hút $\rho_0, \rho_4$ phụ thuộc vào các hằng số không tường minh trong bất đẳng thức nhúng, chưa cung cấp được tốc độ hút định lượng (rate of attraction).

Hạn chế 4: Lớp hệ phương trình Chương 4 chỉ xét hai phương trình; mở rộng sang hệ $n$ phương trình ($n \geq 3$) với tương tác chéo phức tạp chưa được nghiên cứu.

Hướng nghiên cứu tương lai:

  1. Thiết lập tập hút toàn cục cho bài toán Chương 2 trên miền không bị chặn sử dụng kỹ thuật cắt xén (tail estimates).
  2. Phát triển lý thuyết tập hút lùi cho hệ phương trình suy biến không ôtônôm — kết hợp kết quả Chương 3 và Chương 4.
  3. Nghiên cứu chiều Hausdorff và fractal của tập hút $\mathcal{A}{L^2}$ và $\mathcal{A}{M^{1,p}_0}$.
  4. Mở rộng sang toán tử p-Laplace phân số suy biến $(-\Delta)^s_p$ ($0 < s < 1$).
  5. Phân tích số trị (numerical simulation) xác minh tốc độ hội tụ về tập hút trong các trường hợp cụ thể.

Tác động và ảnh hưởng

Luận án công bố kết quả trong ít nhất hai bài báo khoa học ([1] và [2] trong danh mục công trình của tác giả), đặt nền tảng cho các trích dẫn từ cộng đồng toán học nghiên cứu PDEs và hệ động lực vô hạn chiều. Lớp bài toán parabolic suy biến tựa tuyến tính trực tiếp mô tả các quá trình khuếch tán trong vật liệu không đồng nhất (chất cách điện lý tưởng, vật liệu xốp) và các mô hình quần thể sinh học phi tuyến — những lĩnh vực đang được quan tâm trong nghiên cứu khoa học vật liệu và sinh học toán học. Kết quả ổn định mũ nghiệm dừng của hệ phản ứng-khuếch tán có ý nghĩa trực tiếp trong thiết kế hệ thống điều khiển sinh học và mô hình hóa động lực học sinh thái.

Ở tầm quốc tế, việc thiết lập điều kiện $(H)$ mới cho hệ số khuếch tán mở ra một hướng nghiên cứu độc lập có thể áp dụng trong các bối cảnh toán học Tây Ban Nha (nhóm Caraballo), Ba Lan (nhóm Kalita–Łukasiak), và Trung Quốc (nhóm Ding–Zhong) — những nhóm đang hoạt động tích cực trong lĩnh vực tập hút lùi và suy biến.

Đối tượng hưởng lợi

Nghiên cứu sinh và nhà toán học trẻ sẽ tìm thấy trong luận án một hệ thống phương pháp hoàn chỉnh: từ xây dựng không gian hàm Sobolev có trọng phù hợp, triển khai phương pháp Galerkin trong không gian Orlicz, đến áp dụng lý thuyết độ đo không compact Kuratowski — cung cấp prototype đầy đủ cho các lớp bài toán suy biến mới.

Nhà toán học cấp cao nghiên cứu PDEs và hệ động lực vô hạn chiều được cung cấp ba đóng góp lý thuyết mới: điều kiện $(H)$ cho hệ số khuếch tán suy biến trên $\mathbb{R}^N$, khung xây dựng tập hút lùi trong không gian Sobolev có trọng, và kỹ thuật xử lý phi tuyến siêu tới hạn kiểu mũ.

Nhà nghiên cứu ứng dụng và kỹ sư vật liệu có thể sử dụng kết quả định tính — đặc biệt tính ổn định mũ nghiệm dừng — để xác nhận lý thuyết cho các mô phỏng số trong môi trường không đồng nhất, tiết kiệm chi phí kiểm nghiệm thực nghiệm.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất? Điều kiện $(H)$ mới cho hệ số khuếch tán $a(x)$ trên $\mathbb{R}^N$ — mở rộng lý thuyết Caldiroli–Musina và Ke bằng cách thay thế điều kiện dáng điệu tại vô cùng $(H_{\alpha,\beta})$ bằng điều kiện khả tích địa phương bậc cao hơn, cho phép $a(x) = e^{-|x|}|x|^\alpha + |x|^\gamma$ là ví dụ hợp lệ — điều không thể trong khuôn khổ Ke [4, 5].

2. Đổi mới phương pháp luận? So với [27] (chỉ xét phi tuyến bậc đa thức): luận án dùng không gian Orlicz để kiểm soát phi tuyến tùy ý. So với [23, 24] (tập hút lùi trong miền bị chặn): luận án phát triển kỹ thuật $\omega$-compact giới hạn lùi thay thế compact trực tiếp của phép nhúng Sobolev trong trường hợp miền không bị chặn.

3. Phát hiện bất ngờ nhất? Phi tuyến kiểu mũ $f(u,v) = e^u$, $h(u,v) = e^v$ — thường được xem là không kiểm soát được trong lý thuyết tập hút — vẫn cho phép tập hút toàn cục compact và nghiệm dừng ổn định mũ trong (Chương 4), mâu thuẫn với quan điểm thông thường rằng tăng trưởng mũ tất yếu gây blow-up.

4. Giao thức tái lập? Luận án cung cấp đầy đủ các điều kiện $(H_1)$–$(H_3)$, $(F)$–$(H)$–$(\ell)$ và các bước chứng minh chi tiết trong Chương 2–4, đủ để tái lập kết quả với phần mềm kiểm chứng hình thức hoặc tính toán số trị.

5. Chương trình nghiên cứu 10 năm? Được phác thảo qua 5 hướng cụ thể trong phần "Kết luận và Kiến nghị" (trang 84), bao gồm: mở rộng sang miền không bị chặn (Chương 2), hệ suy biến không ôtônôm, chiều tập hút, p-Laplace phân số, và phân tích số trị.

Kết luận

Luận án đạt được sáu đóng góp khoa học được đánh số cụ thể:

  1. Thiết lập không gian hàm $M^{1,p}_0(\mathbb{R}^N, a)$ với điều kiện $(H)$ mới — yếu hơn điều kiện $(H_{\alpha,\beta})$ của Ke và cộng sự, mở rộng đáng kể lớp hệ số khuếch tán cho phép.
  2. Chứng minh tính đặt chỉnh và tồn tại tập hút toàn cục trong $L^2(\Omega)$ và $M^{1,p}_0(\Omega, a)$ cho lớp phương trình suy biến tựa tuyến tính với phi tuyến tăng trưởng tùy ý, bao gồm cả trường hợp $f(u) = e^u - u$ (Chương 2, theo [1]).
  3. Thiết lập tập hút lùi trong $L^2(\mathbb{R}^N)$, $L^q(\mathbb{R}^N)$, và $M^{1,p}_0(\mathbb{R}^N, a)$ cho lớp phương trình không ôtônôm trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ thiếu compact phép nhúng thông thường (Chương 3, theo [2]).
  4. Chứng minh tồn tại tập hút toàn cục trong $(L^2(\Omega))^2$ và trong trường hợp hệ gradient cho hệ phản ứng-khuếch tán với phi tuyến kiểu mũ (Chương 4).
  5. Chứng minh sự tồn tại và tính ổn định mũ nghiệm dừng của hệ phương trình phản ứng-khuếch tán với phi tuyến siêu tới hạn kiểu mũ.
  6. Xây dựng kỹ thuật xấp xỉ Galerkin trong không gian Orlicz kết hợp phương pháp độ đo không compact Kuratowski — khung phương pháp luận có thể tái sử dụng cho nhiều lớp bài toán suy biến khác.

Tổng thể, luận án mở ra ít nhất ba hướng nghiên cứu mới: (i) lý thuyết tập hút cho phương trình suy biến trên miền không bị chặn với phi tuyến siêu tới hạn; (ii) lý thuyết tập hút lùi cho hệ phương trình suy biến không ôtônôm; (iii) phân tích cấu trúc hình học (chiều Hausdorff, fractal) của tập hút trong không gian Sobolev có trọng. Đây là di sản khoa học có thể đo lường được của công trình — đặt Toán học Việt Nam vào bản đồ nghiên cứu PDEs quốc tế trong lĩnh vực hệ động lực vô hạn chiều và phương trình suy biến phi tuyến.