MỞ ĐẦU Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và toán ứng dụng. Một trong những bài toán biên được nghiên cứu sâu rộng bởi nhiều nhà toán học là bài toán giá trị biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng phi địa phương liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau. Các bài toán này xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng như trong Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,: - -. Việc nghiên cứu các bài toán biên dạng này góp phần vào sự phát triển của nhiều kết quả của giải tích hàm phi tuyến về mặt lý thuyết, cũng như các phương pháp.
Hiện nay, các công cụ trong giải tích hàm phi tuyến phối hợp với một số công cụ khác đã giải quyết được một số bài toán biên phi tuyến cụ thể. Tuy vậy, thực tế cho thay rang, không tổn tại một phương pháp tổng quát nào để giải được mọi bài toán biên phi tuyến, còn rất nhiều bài toán biên chưa giải được hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với từng số hạng phi tuyến cụ thể. Nói cách khác, còn nhiều dạng bài toán biên phi tuyến vẫn là "bài toán mở". Khi có số hạng phi tuyến xuất hiện, bài toán không phải lúc nào cũng dé dang để giải mà nhiều khi còn khá phức tạp, đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo nhiều kỹ thuật tính toán, để tìm kiếm nhiều thông tin về nghiệm như sự tổn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính ổn định của nghiệm đối với các dữ kiện trong mô hình bài toán, hoặc thiết lập khai triển tiệm cận theo các tham số nhiễu của nghiệm, - -.
Luận án sẽ chứng minh tính giải được của một số bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng chứa số hạng tắt dần mạnh và các số hạng phi địa phương dạng Kirchhoff-Carrier và dạng tích chập theo biến thời gian, có nguồn gốc từ các mô hình toán học của các bài toán trong khoa học kỹ thuật. Hơn nữa, về mặt toán học thuần tuý, luận án sẽ cung cấp thêm một số công cụ mang tính chất kỹ thuật đã được vận dụng khi chứng minh các kết quả. Chính vì vậy, vấn dé khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến chứa các số hạng phi địa phương là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. Luận án này trình bày các kết quả sự tổn tại, duy nhất nghiệm địa phương và một số tính chất của nghiệm cho hai dạng bài toán biên sau đây.
Bài toán thứ nhất là bài toán biên cho phương trình sóng chứa số hạng tắt dần mạnh và các số hạng phi địa phương kiểu Kirchhoff-Carrier và số hạng dạng tích chập có dạng ở tụ — Atye — 5 [py (Xe, (xe) [eet us(ĐIÊ) a + sŒt =9) [tạ (x56), llu(s)IP.2) va diéu kién dau u(x,0) = ño(*), ur(x,0) = ti (x), (1.3) trong đó f, %, 80, gu Hy, Hạ, flo, fy là các hàm cho trước va A > 0, ho > 0 là các hằng số cho trước. Các số hang phi tuyến xuất hiện ở hai về của(1.1) chứa các số hạng phi địa phương dạng tích phân như sau |u|? = [ x2G,94%, a(t? = [ sã(,Ð4x, 1 ll P = [ vậ(x,Ð4x, (09 số hạng —Auxx thường được gọi là số hạng tắt dần mạnh. Trong bài toán nay, chúng tôi sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin, cùng với các đánh giá tiên nghiệm để chứng minh sự tổn tại và duy nhất của nghiệm yêu địa phương. Hơn nữa, một khai triển tiệm cận theo một tham số bé của nghiệm yêu cũng được thiết lập.
Bài toán thứ hai là bài toán biên cho phương trình sóng chứa số hạng tat dan mạnh và số hạng phi địa phương dạng tích chập phi tuyến theo biến thời gian có dạng 32 = Upp — Auxxt — 5x2 (w (x,t, u(x,t))) + / g(t—s) 3x5 (fi (x,s,u(x,s))) ds (1.6) và điều kiện đầu u(x,0) = fig(x), uz(x,0) = mi(x), (1.7) trong đó , jt, ƒ, 8, fio, ñ là các hàm cho trước va A > 0 là hằng số cho trước. Đối với bài toán này, chúng tôi chứng minh sự tôn tại duy nhất của nghiệm yếu địa phương, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm yếu này vào các dữ kiện của bài toán và thiết lập điều kiện đủ để bài toán có nghiệm toàn cục và tắt dan tổng quát khi thời gian tiến ra vô cùng. Hơn nữa, chúng tôi cũng thiết lập một thuật giải lặp cấp cao hội tụ nhanh về nghiệm yếu của bài toán (1.6), tương ứng với f = f(x,t,u). Toàn bộ các kết quả được trình bày trong luận án đã được công bồ trong [q1]-{a3].
Ngoài ra, một phần các kết quả này đã được báo cáo tại Hội nghị khoa học lần thứ XI của Trường Dai học Khoa học Tự nhiên, DHQG-HCM, 09-10/11/2018; Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9 tại Nha Trang, 14-18/8/2018; Hội nghị Toán học Miền Trung- Tây Nguyên lần thứ 3, Trường Đại học Tây Nguyên, 02-04/08/2019 và Hội nghị Toán học Miễn Trung-Tây Nguyên lần thứ 4, Trường Dai học Sư phạm Hué, 25-27/08/2022. Chương 2 TỔNG QUAN Luận án nghiên cứu các lớp bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng Kirchhoff-Carrier hoặc tích chập theo biến thời gian. Các bài toán này xuất phát từ các nghiên cứu thuộc lĩnh vực Cơ học, Vật lý được một số nhà khoa học trong lĩnh vực này và một số nhà toán học quan tâm, - - -, rất nhiều kết quả thu được đã được công bồ ở các tạp chí quốc tế uy tín. Khi A =0, ƒ = g = 0,80) = gilt) = 0,1 = #(I|0x()|Ÿ), phương trình (1.1) trở thành phương trình dưới đây được thiết lập bởi Kirchhoff vào năm 1876 (xem [114]) is) 5x2! (2.1) 2 2 3?u Eh st ou Oru pho = Pọ+ zr 2L Jo 2x!) trong đó u la độ lệch của sợi dây so với vi tri cân bằng, L là chiều dài sợi dây, h là điện tích thiết điện, E là module Young của vật liệu câu tạo sợi dây, ø là khối lượng riêng, và Po là lực căng ban dau.
Phương trình là phương trình mô tả quá trình dao động của sợi dây đàn hồi có chiều dai L với hai đầu cố định và sự ảnh hưởng của lực căng tại các điểm trên đó thay đổi theo thời gian. Khi À = 0, ƒ = g =0,go(f) = gi(f) = 0, = el lu (t) |’), phương trình (1.1) trở thành phương trình sau EA fh 5 Pure — (1 + inh u (,Ð4) Uxx = 0, (2.2) trong đó u(x,t) là độ dich chuyển theo phương x, Tp là lực căng tại các vị trí của sợi dây, E là môđun Young, A là thiết diện của sợi dây, L là chiều đài của sợi dây và ø là khối lượng riêng của vật liệu cau tạo sợi dây. Phương trình được Carrier xem xét trong bài báo [8], nó mô tả dao động của một sợi dây đàn hồi khi lực căng có thay đổi nhỏ. Rõ ràng, nếu tính chất của một loại vật liệu khác nhau thay đổi theo x và t thì nó có thể được mô tả bởi một lớp phương trình thuộc dạng hyperbolic L 0 Các phương trình (2.3) sau đó đã được tổng quát hóa bởi Larkin thành phương trình không thuần nhất có dạng sau đây tụ — M (x, t, ||u (91) Au +&(%,t,u) = (x,t).4) Trong công trình này, tác giả đã chứng minh sự tổn tại nghiệm mạnh toàn cục với dir liệu đầu lớn, ngoài ra tính tắt dan mũ và tinh trơn của nghiệm trong trường hợp n = 2 cũng được xem xét.
Vì cả hai công trình của Kirchhoff va Carrier [8] đều cùng mô tả dao động bé của một sợi dây đàn hồi bị kéo căng nên có khi người ta gọi phương trình của Kirchhoff là phương trình Kirchhoff-Carrier, điều này đã được nêu trong công trình của Cavalcanti [9] vào năm 1998. Một trong những nghiên cứu cổ điển có liên quan đến phương trình Kirchhoff được cho bởi [93]. Sau công trình của Lions [52], phương trình Kirchhoff cũng như Kirchhoff-Carrier nhận được nhiều sự quan tâm của M. Milla Miranda trong [71], J.
Rabello trong va MLL. Trong hai công trình [63], [64], các tác giả Medeiros, Limaco va Menezes đã cho một tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier. Sự nghiên cứu tổng quát các phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier (2.4) là một xu hướng tất yếu. Nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến các bài toán giá trị biên có dạng này đã được công bồ với nhiều kết quả thú vị như sự tổn tại toàn cục, tính ổn định, tính tắt dần, tính bùng nổ, khai triển tiệm cận của nghiệm, - :, chang hạn như trong [2], [6], [14], [36], [40], [55], [57], [69], [751 [74], [79], [92], [105], [104], [106], và các tài liệu được trích dẫn trong đó.
Cavalcanti cùng các cộng sự đã nghiên cứu sự tổn tại của nghiệm toàn cục và tính tắt dần mũ của nghiệm cho bài toán biên cho phương trình Kirchhoff- Carrier như sau yun — M (( Min) Ay — Ay; = ƒ trong Q = O x (0,+00), y = OtrénT, x (0,+00), (2.5) M (( ed) se + 2 (GL) = g trên Tụ x (0, +00), (0) = Yo, ¥k(0) = y1 trong O, trong đó M € C!(R,), M(A) > Ao > 0, VA = 0; ƒ, Yo, yi là các hàm cho trước, O là mở bị chặn của RN có biên T = Tọ UT đủ trơn, oy là dao hàm của y theo hướng pháp vectơ đơn vị v trên biên Iọ hướng ra ngoài. Năm 2010, Triết và các cộng sự sử dụng thuật giải xấp xỉ tuyến tính kết hợp phương pháp Faedo-Galerkin để chứng minh được sự tổn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán Robin không thuần nhất cho phương trình sóng Kirchhoff-Carrier sau 0 Hit — ox (x (x, tàu, II Ix.lf) ux) = f(x, t, Uu, Ux, Ut), ux(0,t) — hou(0,t) = go(t), ux(1,t) + hịu(1,†) = ø1(), u(x,0) = fig(x), uz(x,0) = (x), trong do 1, ƒ, 80, 81, ño, ñ là các hàm cho trước va họ, h là các hằng số không âm và không đồng thời bằng không. Một khai triển tiệm cận của nghiệm Bài toán theo nhiều tham số bé xuất hiện trong các số hạng phi tuyến cũng được nghiên cứu. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình sóng Kirchhoff chứa số hạng đàn hồi nhớt cũng thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà toán học.
Chẳng hạn như năm 2015, Jie và Fei đã xét phương trình sóng kiểu Kirchhoff có chứa số hạng đàn hồi nhớt rt ur —M (IVsIf) Au + [ g(t —s)Au (s) ds + uy = |u|? u, (2.