Luận Án Tiến Sĩ Về Môđun Nội Xạ: Đặc Trưng và Mở Rộng

• Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hà
• Người hướng dẫn: PGS. Trương Công Quỳnh
• Trường học: Đại học Huế
• Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
• Đề tài: Môđun Nội Xạ: Các Đặc Trưng Cốt Yếu và Mở Rộng
• Loại tài liệu: luận án
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Huế

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản
• 1.2. Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng
• 1.3. Vành nửa đơn Artin, vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh và các trường hợp tổng quát
• 2. CHƯƠNG 2: MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU VÀ CÁC MỞ RỘNG
• 2.1. Định nghĩa và ví dụ
• 2.2. Các kết quả liên quan đến môđun nội xạ cốt yếu và môđun bất biến đẳng cấu
• 3. CHƯƠNG 3: MÔĐUN XẠ ẢNH BÉ VÀ CÁC VÀNH LIÊN QUAN
• 3.1. Môđun xạ ảnh bé và môđun đối bất biến đẳng cấu
• 3.2. Đặc trưng môđun nội xạ cốt yếu và xạ ảnh bé trên các vành liên quan
• 3.3. Vành mà mọi môđun xiclic trên nó là đối bất biến đẳng cấu
• Tài liệu tham khảo

I. Giới thiệu về Môđun Nội Xạ

Môđun nội xạ là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun, được phát triển từ những năm 1940. Khái niệm này được đưa ra bởi Baer và sau đó được mở rộng bởi Eckman và Schopf. Môđun được gọi là nội xạ nếu mọi đồng cấu từ một môđun con vào môđun đó đều có thể mở rộng. Tiêu chuẩn Baer là một tiêu chuẩn nổi tiếng để kiểm tra tính nội xạ của môđun. Môđun nội xạ có nhiều ứng dụng trong lý thuyết vành và lý thuyết đại số. Việc nghiên cứu môđun nội xạ không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của vành mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết môđun.

1.1. Đặc trưng của Môđun Nội Xạ

Môđun nội xạ có những đặc trưng cốt yếu như tính chất mở rộng đồng cấu và tính bất biến. Những môđun này thường được sử dụng để phân tích các cấu trúc đại số phức tạp. Đặc biệt, môđun nội xạ cốt yếu là một mở rộng của môđun nội xạ, cho phép nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của môđun. Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng môđun nội xạ cốt yếu có thể được đặc trưng thông qua các vành quen thuộc như vành Noether và vành nửa Artin.

II. Các Đặc Trưng Cốt Yếu của Môđun Nội Xạ

Các đặc trưng cốt yếu của môđun nội xạ bao gồm tính chất mở rộng và tính bất biến. Môđun nội xạ cốt yếu có thể được định nghĩa là môđun mà mọi đồng cấu với hạt nhân cốt yếu đều có thể mở rộng. Điều này cho phép các nhà nghiên cứu xác định mối liên hệ giữa các lớp môđun khác nhau. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng môđun nội xạ cốt yếu có thể được sử dụng để đặc trưng các vành quen thuộc, từ đó mở rộng khả năng ứng dụng trong lý thuyết đại số.

2.1. Mối Liên Hệ Giữa Môđun Nội Xạ và Các Lớp Môđun Khác

Môđun nội xạ có mối liên hệ chặt chẽ với các lớp môđun khác như môđun xạ ảnh và môđun đối bất biến đẳng cấu. Nghiên cứu cho thấy rằng môđun nội xạ cốt yếu có thể được sử dụng để phân tích các môđun xạ ảnh bé. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu các tính chất của môđun và vành, đồng thời cung cấp các công cụ hữu ích cho việc giải quyết các bài toán trong lý thuyết đại số.

III. Mở Rộng Môđun Nội Xạ

Mở rộng môđun nội xạ là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng, cho phép các nhà khoa học bổ sung các tính chất vào môđun nội xạ để dễ dàng đặc trưng vành. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng môđun tựa nội xạ và môđun nội xạ cốt yếu là những mở rộng thực sự của môđun nội xạ. Việc nghiên cứu mở rộng này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của môđun mà còn mở ra nhiều ứng dụng trong lý thuyết vành và lý thuyết đại số.

3.1. Các Kết Quả Nghiên Cứu Về Môđun Nội Xạ Cốt Yếu

Các kết quả nghiên cứu về môđun nội xạ cốt yếu đã chỉ ra rằng môđun này có thể được đặc trưng thông qua các vành quen thuộc. Nghiên cứu cho thấy rằng nếu một vành thỏa mãn điều kiện nhất định, thì mọi môđun trên vành đó đều là môđun nội xạ cốt yếu. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu các tính chất của vành và môđun, đồng thời cung cấp các công cụ hữu ích cho việc giải quyết các bài toán trong lý thuyết đại số.