chương 1 này, chúng ta nghiên cứu về các vấn đề biểu diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế và thực hiện hệ thống rời rạc.2 Tín hiệu rời rạc 1.1 Định nghĩa tín hiệu Tín hiệu là một đại lượng vật lý chứa thông tin. Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến độc lập. Chẳng hạn, tín hiệu tiếng nói được biểu thị như một hàm số của thời gian còn tín hiệu hình ảnh thì lại được biểu diễn như một hàm số của hai biến số không gian. Mỗi loại tín hiệu khác nhau có các tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu.
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(ω). Trong luận văn này, chúng ta qui ước tín hiệu là một hàm của một biến độc lập và biến này là thời gian. Giá trị của hàm tương ứng với một giá trị của biến được gọi là biên độ (amplitude) của tín hiệu. Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ ở đây không phải là giá trị cực đại mà tín hiệu có thể đạt được.2 Phân loại tín hiệu Có nhiều cách để phân loại tín hiệu, dưới đây là cách phân chia theo cặp thuộc tính: Thời gian rời rạc - Thời gian liên tục - Tín hiệu rời rạc (về mặt thời gian): là tín hiệu chỉ xác định trên một tập rời rạc của thời gian (một tập những thời điểm rời rạc).
Về mặt toán học, tín hiệu rời rạc mang giá trị thực (hoặc phức) có thể được xem là một hàm liên kết tương ứng từ tập số tự nhiên đến tập số thực (hoặc phức). - Tín hiệu liên tục (về mặt thời gian): là tín hiệu mang giá trị thực (hoặc 5 phức) xác định với mọi thời điểm trong một khoảng thời gian, trường hợp phổ biến nhất là một khoảng thời gian vô hạn. Chú ý: Một hàm không liên tục về mặt toán học, ví dụ như hàm sóng vuông (square-wave) hay sóng răng cưa (sawtooth-wave), vẫn có thể là hàm liên tục về mặt thời gian. Tương tự - Số - Tín hiệu tương tự: là tín hiệu có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian.
- Tín hiệu số: là tín hiệu đã được lấy mẫu và lượng tử hóa.3 Định lý lấy mẫu Nyquist–Shannon Nếu x = x(t) là một tín hiệu liên tục theo thời gian t và tín hiệu này được lấy mẫu cách đều nhau một khoảng thời gian là Ts , biên độ của mẫu thứ n là x(nTs ) hay x(n) nếu ngầm hiểu rằng ta đã chuẩn hoá trục thời gian theo Ts. Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period). fs = 1/Ts được gọi là tần số lấy mẫu (Sampling frequency). Định lý lấy mẫu được phát biểu như sau: Một tín hiệu x(t) không chứa bất kỳ thành phần tần số nào lớn hơn hoặc bằng một giá trị fmax có thể biểu diễn chính xác bằng tập các giá trị của nó với chu kỳ lấy mẫu Ts = 1/(2fmax ).
Như vậy, tần số lấy mẫu phải thoả mãn điều kiện fs ≥ 2fmax. Tần số giới hạn fs /2 này được gọi là tần số Nyquist và khoảng (−fs /2; fs /2) gọi là khoảng Nyquist. Về bản chất, định lý cho thấy một tín hiệu tương tự có tần số giới hạn đã được lấy mẫu có thể được tái tạo hoàn toàn từ một chuỗi vô số các mẫu nếu tỷ lệ lấy mẫu lớn hơn 2fmax mẫu trong 1 giây, fmax là các tần số lớn nhất của tín hiệu ban đầu.4 Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc Một tín hiệu rời rạc có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc phức). Phần tử thứ n của dãy được ký hiệu là x(n) và một dãy được ký 6 hiệu như sau: x = x(n) với − ∞ ≤ n ≤ ∞ (1.1) x(n) được gọi là mẫu thứ n của tín hiệu x.
Ghi chú: - Từ đây về sau, trục thời gian sẽ được chuẩn hóa theo Ts , khi cần trở về thời gian thực, ta thay biến n bằng nTs. - Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác định ở các thời điểm nguyên n. - Để đơn giản, sau này, thay vì ký hiệu đầy đủ, ta chỉ cần viết x(n) và hiểu đây là dãy x = x(n).5 Các tín hiệu rời rạc cơ bản Tín hiệu xung đơn vị (unit impulse) Đây là dãy cơ bản nhất được biểu diễn như sau: 1, nếu n = 0, δ(n) = (1.1: Tín hiệu xung đơn vị δ(n) Tín hiệu hằng Tín hiệu này có giá trị bằng nhau với tất cả các giá trị của n: x(n) = a với − ∞ ≤ n ≤ ∞ (1.3) 7 Tín hiệu nhảy bậc đơn vị Dãy này thường được ký hiệu là u(n) và được định nghĩa như sau: 1, nếu n ≥ 0, u(n) = (1.2: Tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Mối quan hệ giữa tín hiệu nhảy bậc đơn vị với tín hiệu xung đơn vị: n X u(n) = δ(k) =⇒ δ(n) = u(n) − u(n − 1) (1.5) k=−∞ Tín hiệu tuần hoàn Một tín hiệu x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ N khi: x(n + N ) = x(n), ∀n.3: Tín hiệu tuần hoàn x(n) 8 1.6 Các phép toán cơ bản của dãy Cho 2 dãy x1 = {x1 (n)} và x2 = {x2 (n)} các phép toán cơ bản trên hai dãy được định nghĩa như sau: • Phép nhân 2 dãy: y = x1 .x2 (n)} • Phép nhân 1 dãy với 1 hệ số: y = a.7) Phép dịch phải còn gọi là phép làm trễ (delay). Phép làm trễ một mẫu thường được ký hiệu bằng chữ D hoặc Z −1.
- Dịch trái: Gọi z là dãy kết quả trong phép dịch trái n0 mẫu một dãy x ta có: y(n) = x(n + n0 ) (1.8) Nhận xét: Ta thấy, một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung đơn vị như sau: ∞ X x(n) = x(k)δ(n − k) (1.3 Hệ thống rời rạc 1.1 Khái niệm Hệ thống rời rạc Định nghĩa: Hệ thống thời gian rời rạc là một toán tử(operator) hay là một toán thuật (algorithm) mà nó tác động lên một tín hiệu vào để cung cấp 9 một tín hiệu ra theo một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào đó. Định nghĩa theo toán học, đó là một phép biến đổi hay một toán tử mà nó biến một dãy vào x(n) thành dãy ra y(n).10) Tín hiệu vào được gọi là tác động hay kích thích (excitation), tín hiệu ra được gọi là đáp ứng (response). Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích thích và đáp ứng được gọi là quan hệ vào ra của hệ thống.11) Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối Để có thể biểu diễn một hệ thống bằng sơ đồ khối, ta cần định nghĩa các phần tử cơ bản. Một hệ thống phức tạp sẽ là sự liên kết của các phần tử cơ bản này.
- Phần tử nhân dãy với dãy (signal multiplier): tương ứng với phép nhân hai dãy, có sơ đồ khối như sau: Hình 1.4: Sơ đồ nhân dãy với dãy - Phần tử nhân một dãy với một hằng số (Constant multiplier): tương ứng với phép nhân một hệ số với một dãy, có sơ đồ khối như sau: 10 Hình 1.5: Sơ đồ nhân một dãy với với một hằng số - Phần tử cộng (Adder): tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ đồ khối như sau: Hình 1.6: Sơ đồ cộng hai dãy - Phần tử làm trễ một mẫu (Unit Delay Element): tương ứng với phép làm trễ một mẫu, có sơ đồ khối như sau: Hình 1.7: Sơ đồ làm trễ một dãy 1.2 Phân loại hệ thống rời rạc Các hệ thống rời rạc được phân loại dựa vào các thuộc tính của nó, cụ thể là các thuộc tính của toán tử biểu diễn hệ thống (T). Hệ thống không nhớ (Memoryless systems): Hệ thống không nhớ còn được gọi là hệ thống tĩnh (Static systems) là một hệ thống mà đáp ứng y(n) ở mỗi thời điểm n chỉ phụ thuộc vào giá trị của tác 11 động x(n) ở cùng thời điểmn đó. Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống có nhớ hay hệ thống động (Dynamic systems). Hệ thống tuyến tính (Linear systems) Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý chồng chất (Principle of superposition).12) với a, b là 2 hằng số bất kỳ và với mọi n.
Ta thấy, đối với một hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng của một tổng các tác động bằng tổng đáp ứng của hệ ứng với từng tác động riêng lẻ. Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống phi tuyến (Nonliear systems). Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems) Một hệ thống là bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu tín hiệu vào bị dịch nd mẫu thì đáp ứng cũng dịch nd mẫu, ta có: Nếu y(n) = T {x(n)} và x1 (n) = x(n − nd ) Thì y1 (n) = T {x1 (n)} = T {x(n − nd )} = y(n − nd ) Hệ thống ổn định (Stable systems) Một hệ thống ổn định còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) nếu và chỉ nếu với mỗi tín hiệu vào bị giới hạn sẽ cung cấp dãy ra giới hạn. Một dãy vào x(n) bị giới hạn nếu tồn tại một số dương hữu hạn Bx sao cho: |x(n)| ≤ Bx ≤ +∞, ∀n (1.13) 12 Một hệ thống ổn định đòi hỏi rằng, ứng với mỗi dãy vào hữu hạn, tồn tại một số dương By hữu hạn sao cho: |y(n)| ≤ By ≤ +∞, ∀n (1.14) Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI: Linear time- invariant system) Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là hệ thống thỏa mãn đồng thời hai tính chất tuyến tính và bất biến.
Gọi T là một hệ thống LTI. Giã sử tín hiệu y(n) là đáp ứng của tín hiệu x(n) theo phương trình (1.15) k=−∞ Như vậy một hệ thống LTI hoàn toàn có thể được đặc tả bởi đáp ứng xung của nó và ta có thể dùng kết quả trên để tính đáp ứng của hệ thống ứng với một kích thích bất kỳ. Hệ thống LTI rất thuận lợi trong cách biểu diễn cũng như tính toán, đây là một hệ thống có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu.1 Định nghĩa Tổng chập của hai dãy x1 (n) và x2 (n) bất kỳ, ký hiệu: * , được định nghĩa bởi biểu thức sau: ∞ X y(n) = x1 (n) ∗ x1 (n) = x1 (k)x2 (n − k) (1.16) k=−∞ 13 Theo phương trình (1.17) k=−∞ Vậy đáp ứng của một hệ thống bằng tổng chập tín hiệu vào với đáp ứng xung của hệ thống đó.
