Luận Án Tiến Sĩ: Nghiên Cứu Ranh Giới Hấp Thụ Đối Xứng Trong Miền Thời Gian

Luận án tiến sĩ về ranh giới hấp thụ đối ứng miền thời gian, tập trung vào phương pháp hiệu quả trong mô phỏng sóng và ứng dụng kỹ thuật.

• Tác giả: Cuong Tan Nguyen
• Người hướng dẫn: Professor John L. Tassoulas
• Trường học: The University of Texas at Austin
• Chuyên ngành: Engineering
• Đề tài: Time-domain Reciprocal Absorbing Boundaries
• Loại tài liệu: dissertation
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Austin

Mục lục chi tiết

• Acknowledgments
• Abstract
• List of Tables
• List of Figures
• 1. CHƯƠNG 1: Reciprocal absorbing boundary condition for the time-domain numerical analysis of wave motion in unbounded layered media
• 1.1. Notation and definitions
• 1.2. Time-domain reciprocity theorems for elastodynamics
• 1.3. Derivation of reciprocal absorbing boundary condition
• 1.4. Time-stepping algorithm
• 1.5. Reciprocal absorbing boundary condition (RABC)
• 1.5.1. Semi-infinite beam on simple supports
• 1.5.2. Semi-infinite beam on flexible supports
• 1.5.3. Semi-infinite rod
• 1.5.4. Stratum in plane strain
• 1.5.5. Stratum in antiplane shear
• 2. CHƯƠNG 2: Application of reciprocal absorbing boundary condition to transient analysis of acoustic wave propagation
• 2.1. Reciprocity theorems for acoustics
• 2.1.1. The linear wave equation for velocity potential
• 2.1.2. Acoustic reciprocity theorems
• 2.1.2.1. Reciprocity in the frequency domain
• 2.1.2.2. Reciprocity in the time domain
• 2.2. Reciprocal absorbing boundary condition
• 2.2.1. Finite elements for acoustic wave propagation
• 2.2.1.1. The semi-discrete form
• 2.2.1.2. Time-stepping algorithm
• 2.2.2. Derivation of reciprocal absorbing boundary condition
• 2.2.2.1. The original semi-infinite problem
• 2.2.2.2. The construction of reciprocal absorbing boundary condition
• 2.2.2.2.1. One-dimensional problem
• 2.2.2.2.2. Two-dimensional problem
• 3. CHƯƠNG 3: Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers for SH waves in a layered half-space
• 3.1. Reciprocal absorbing boundary condition
• 3.2. Derivation of reciprocal absorbing boundary condition
• 3.3. Time-stepping algorithm
• 3.4. Reciprocal absorbing boundary condition
• 3.5. Perfectly Matched Discrete Layers
• 3.5.1. Finite element discretization
• 3.5.2. Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers
• 3.5.2.1. A two-layer stratum truncated by RABC
• 3.5.2.2. A homogeneous layer truncated by PMDLs
• 3.5.2.3. A homogeneous half-space truncated by RABC and PMDLs
• 3.6. A layered half-space truncated by RABC & PMDLs
• 4. CHƯƠNG 4: Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers for SV-P waves in a layered half-space
• 4.1. Reciprocal absorbing boundary condition for a stratum
• 4.1.1. Derivation on the basis of the displacement-based reciprocity theorem
• 4.1.2. Derivation based on the dynamic stiffness matrix
• 4.2. Derivation based on the acceleration unit-impulse response matrix
• 4.3. Convolution quadrature and time-stepping scheme
• 4.4. The construction of reciprocal absorbing boundary condition (RABC)
• 4.5. Computing initial values
• 4.6. Perfectly matched discrete layers for SV-P waves
• 4.6.1. Finite element discretization
• 4.7. Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers
• 4.7.1. RABC for a two-layer stratum
• 4.7.2. A homogeneous half-space
• 4.7.3. A layered half-space
• 5. CHƯƠNG 5: Transient analysis of full-space unbounded domains by reciprocal absorbing boundaries
• 5.1. Reciprocal absorbing boundary condition (RABC)
• 5.1.1. Acceleration based reciprocity theorem
• 5.1.2. The construction of Reciprocal Absorbing Boundary Condition
• 5.1.3. Perfectly matched discrete layers (PMDLs)
• 5.2. Semidiscrete equation of motion
• 5.2.1. Anti-plane shear
• 5.3. Steady-state phase for harmonic forces
• 5.4. Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers
• Bibliography
• Vita

Tóm tắt

I. Ranh giới hấp thụ

Ranh giới hấp thụ là công cụ cơ bản trong nghiên cứu về sự lan truyền sóng trong các miền không giới hạn. Các vấn đề về lan truyền sóng trong các vùng rộng lớn hoặc vô hạn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như địa chấn, kỹ thuật động đất, thí nghiệm không phá hủy, âm học, hàng không, điện tử, thủy động lực học, khí tượng, hải dương học và thăm dò địa vật lý. Cách tiếp cận phổ biến nhất để xử lý các miền không giới hạn là cắt bớt miền và áp dụng các điều kiện thích hợp trên biên của miền bị cắt bớt. Các điều kiện này nhằm mô tả các hiệu ứng của trường xa lên trường gần với mức độ chính xác khác nhau. Chúng được gọi chung là Điều kiện biên hấp thụ (ABC), còn được biết đến với tên gọi 'truyền dẫn' hoặc 'không phản xạ', vì mục tiêu chính là hấp thụ hoặc cho phép sóng tới đi ra ngoài.

1.1. Phân loại điều kiện biên hấp thụ

Các điều kiện biên hấp thụ có thể được phân loại thành hai loại chính: điều kiện biên cục bộ và điều kiện biên toàn cục. Điều kiện biên cục bộ thường được áp dụng trong các bài toán có miền không gian hạn chế, trong khi điều kiện biên toàn cục được sử dụng trong các miền không giới hạn. Luận án này tập trung vào việc phát triển các điều kiện biên toàn cục dựa trên các định lý đối ngẫu. Các điều kiện này được xây dựng dựa trên quan sát rằng tính đối ngẫu tồn tại giữa các miền vô hạn chỉ khác nhau bởi vị trí biên. Ví dụ, nếu miền vô hạn là một môi trường phân lớp với bề mặt tự do và đáy cố định, các miền mở rộng ra ngoài bất kỳ biên dọc nào đều giống nhau và do đó là ứng cử viên để áp dụng các định lý đối ngẫu.

II. Đối xứng trong miền thời gian

Đối xứng là một khái niệm quan trọng trong việc phân tích các bài toán lan truyền sóng. Trong luận án này, đối xứng được áp dụng để xây dựng các điều kiện biên hấp thụ đối ngẫu trong miền thời gian. Các định lý đối ngẫu được sử dụng để thiết lập các điều kiện biên này, cho phép mô phỏng chính xác sự hấp thụ sóng vào miền ngoài. Các điều kiện biên này được áp dụng thành công trong nhiều bài toán, bao gồm dầm bán vô hạn trên các gối đỡ đơn giản và linh hoạt, thanh bán vô hạn, và các lớp đất trong trạng thái biến dạng phẳng và cắt phẳng.

2.1. Định lý đối ngẫu trong động lực học đàn hồi

Các định lý đối ngẫu trong động lực học đàn hồi được sử dụng để thiết lập các điều kiện biên hấp thụ đối ngẫu. Các định lý này cho phép xác định mối quan hệ giữa các trạng thái khác nhau của miền, từ đó xây dựng các điều kiện biên phù hợp. Ví dụ, trong trường hợp dầm bán vô hạn trên các gối đỡ đơn giản, các điều kiện biên đối ngẫu được thiết lập dựa trên sự tương đồng giữa các miền mở rộng ra ngoài biên dọc.

III. Nghiên cứu và ứng dụng

Luận án này không chỉ tập trung vào việc phát triển lý thuyết mà còn áp dụng các điều kiện biên hấp thụ đối ngẫu vào các bài toán thực tế. Các ứng dụng bao gồm phân tích sự lan truyền sóng âm trong ống dẫn sóng, sóng SH trong nửa không gian phân lớp, và sóng SV-P trong các bài toán biến dạng phẳng. Các kết quả nghiên cứu cho thấy hiệu quả và độ chính xác của các điều kiện biên này trong việc mô phỏng các hiện tượng lan truyền sóng phức tạp.

3.1. Ứng dụng trong sóng âm

Một trong những ứng dụng quan trọng của điều kiện biên hấp thụ đối ngẫu là trong việc phân tích sự lan truyền sóng âm trong ống dẫn sóng. Phương trình sóng được biểu diễn dưới dạng thế vận tốc, cho phép tính toán hiệu quả các hiện tượng lan truyền sóng trong các miền không giới hạn. Các biên mà trên đó các phương trình đối ngẫu được áp đặt có thể bao gồm các đoạn theo hướng tùy ý, giúp mô hình hóa hiệu quả các miền không giới hạn.

IV. Giá trị và ứng dụng thực tiễn

Luận án này đóng góp quan trọng vào lĩnh vực vật lý và khoa học bằng cách phát triển các điều kiện biên hấp thụ đối ngẫu mới. Các điều kiện này không chỉ cải thiện độ chính xác của các mô phỏng số mà còn mở ra các hướng nghiên cứu mới trong việc phân tích các hiện tượng lan truyền sóng phức tạp. Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế như địa chấn, kỹ thuật động đất, và thí nghiệm không phá hủy.

4.1. Ứng dụng trong địa chấn

Các điều kiện biên hấp thụ đối ngẫu có thể được sử dụng để dự đoán chuyển động mạnh của mặt đất trong các trận động đất. Các điều kiện này cho phép mô phỏng chính xác sự lan truyền sóng trong các lớp đất, giúp cải thiện độ chính xác của các dự đoán địa chấn.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Vấn đề lan truyền sóng trong môi trường vô hạn là một bài toán cơ bản xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật công trình, bao gồm địa chấn học, kỹ thuật động lực học đất - công trình (soil-structure interaction), kiểm tra không phá hủy kết cấu và mặt đường (nondestructive testing), âm học (acoustics), khí động học (aeronautics), kỹ thuật điện từ, thủy động lực học, khí tượng học và thăm dò địa vật lý. Trong hầu hết các bài toán giá trị biên - ban đầu (initial-boundary-value problems), khu vực được quan tâm trực tiếp chỉ là một phần hữu hạn—gọi là "miền gần" (near field)—chứa kết cấu, các đặc tính hình học phức tạp hoặc các ứng xử phi tuyến. Miền gần này được bao quanh bởi một môi trường vô hạn rộng lớn gọi là "miền xa" (far field). Khi thực hiện phân tích số, việc mô phỏng đòi hỏi phải cắt tỉa miền vô hạn bằng các biên nhân tạo và áp dụng điều kiện biên hấp thụ (absorbing boundary conditions - ABC, hay còn gọi là transmitting boundaries hoặc non-reflecting boundaries) nhằm hấp thụ sóng tới, ngăn chặn sự phản xạ sóng nhân tạo quay trở lại miền tính toán.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả Cuong Tan Nguyen xác định bắt nguồn từ hạn chế cố hữu của các phương pháp biên truyền sóng nhất quán (consistent transmitting boundary) trong miền tần số. Mặc dù các kỹ thuật miền tần số phát triển từ thập niên 1970 cho độ chính xác cao đối với môi trường bán vô hạn phân tầng, việc mở rộng chúng sang miền thời gian gặp nhiều trở ngại. Quy trình biến đổi tải trọng sang miền tần số, tính toán phản ứng điều hòa rồi biến đổi ngược về miền thời gian trở nên bất khả thi hoặc rất phức tạp khi hệ thống xuất hiện các yếu tố phi tuyến cục bộ (chẳng hạn như biến dạng dẻo của đất hoặc tiếp xúc ma sát tại mặt tiếp xúc móng - đất). Bên cạnh đó, các phương pháp phương trình tích phân biên miền thời gian (time-domain boundary integral equation methods) đòi hỏi phải biết trước nghiệm cơ bản giải tích (Green function), vốn rất khó hoặc không thể thiết lập giải tích cho môi trường phân tầng nhiều lớp.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án bao gồm:

1. Phát triển một điều kiện biên hấp thụ phi cục bộ (global absorbing boundary condition) mới trực tiếp trong miền thời gian dựa trên các định lý tương hỗ (reciprocity theorems) cho môi trường phân tầng vô hạn mà không cần sử dụng nghiệm cơ bản giải tích dạng tường minh.
2. Xây dựng thuật toán rời rạc hóa không gian và thời gian bằng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp thuật toán Newmark và tích phân số chập để giải hệ phương trình tương hỗ - cân bằng.
3. Kết hợp điều kiện biên hấp thụ tương hỗ (Reciprocal Absorbing Boundary Condition - RABC) với kỹ thuật các lớp rời rạc phối hợp hoàn hảo (Perfectly Matched Discrete Layers - PMDLs) nhằm xử lý bài toán bán không gian (half-space) và toàn không gian (full-space), loại bỏ sự phụ thuộc vào các phần tử góc (corner elements).
4. Đánh giá độ chính xác, bậc hội tụ và tính ổn định dài hạn của phương pháp qua các bài toán động lực học công trình, đàn hồi động học (elastodynamics) và âm học (acoustics).

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

• Đối tượng nghiên cứu: Sóng cơ học và sóng áp suất truyền trong môi trường đàn hồi tuyến tính và môi trường âm học vô hạn, bao gồm sóng uốn và sóng dọc trong dầm/thanh bán vô hạn, sóng âm trong ống dẫn sóng (waveguides), sóng cắt ngoài mặt phẳng SH (anti-plane shear), sóng kết hợp trong mặt phẳng SV-P (plane strain), và dao động đĩa tròn trong toàn không gian (full-space).
• Phạm vi không gian: Các mô hình 1D (thanh, dầm), 2D (lớp đất phân tầng, bán không gian phân tầng, kênh âm học phẳng) và miền toàn không gian 2D/trục đối xứng.
• Phạm vi thời gian: Phân tích phản ứng quá độ (transient response) và phản ứng điều hòa dừng (steady-state harmonic response) trong miền thời gian liên tục và rời rạc.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tổng thuật có hệ thống các hướng nghiên cứu nền tảng về điều kiện biên hấp thụ và định lý tương hỗ trong cơ học tính toán:

1. Hướng phát triển biên truyền sóng nhất quán (Consistent Transmitting Boundary) trong miền tần số:

   • Lysmer và Drake (1972) [31], Lysmer và Waas (1972) [33] đề xuất biên truyền sóng nhất quán cho tầng đất nằm ngang chịu cắt ngoài mặt phẳng (antiplane shear), dựa trên việc rời rạc hóa theo phương đứng và giải bài toán trị riêng để xác định số sóng (wavenumbers) và các dạng sóng (wave modes).
   • Waas mở rộng phương pháp cho bài toán biến dạng phẳng (plane strain) và sóng đối xứng trục trong môi trường phân tầng, cho phép tính toán độ cứng động của móng băng và móng tròn.
   • Kausel và Roësset (1975) [25] tổng quát hóa biên truyền sóng nhất quán cho sóng trụ với biến thiên góc bất kỳ, áp dụng cho dao động ngang và lắc của móng tròn. Kausel và Roësset (1977) [26] xây dựng khái niệm siêu phần tử (hyperelements) cho các miền 2D và trụ.
   • Tassoulas và Kausel (1983) [44] kết hợp nghiệm riêng bán rời rạc với các mode sóng để mở rộng siêu phần tử cho các miền có điều kiện biên không thuần nhất.
   • Kausel và Peek (1982) [24] phát triển hệ thống hàm Green bán rời rạc cho tải trọng đường, điểm và vòng trong môi trường phân tầng.
   • Lotfi và cộng sự ứng dụng biên nhất quán cho hệ thống hồ chứa nước - nền đá - đập bê tông trọng lực; Bougacha và Tassoulas (1991) [7] mở rộng cho môi trường xốp hai pha.

2. Hướng nghiên cứu về định lý tương hỗ đàn hồi động (Elastodynamic Reciprocity Theorems):

   • Graffi (1947) [16] thiết lập quan hệ tương hỗ dạng tích chập thời gian cho vật thể đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng.
   • Wheeler và Sternberg (1968) [53] mở rộng định lý tương hỗ sang miền vô hạn và đưa ra định nghĩa chặt chẽ về các trạng thái đàn hồi động học (elastodynamic states) có quá khứ tĩnh (quiescent past).
   • De Hoop [3] tổng quát hóa định lý tương hỗ tích chập thời gian cho môi trường không đồng nhất, dị hướng và đàn dẻo (viscoelastic).
   • Achenbach (1) hệ thống hóa các định lý tương hỗ trong đàn hồi động cho các trạng thái điều hòa thời gian.
   • Ditkowski và Sever (13) chỉ ra các hạn chế của điều kiện biên cục bộ (local ABCs) trong việc biểu diễn quán tính và độ cứng liên kết của miền vô hạn.
   • Newmark (1959) [22] cung cấp thuật toán tích phân thời gian từng bước phục vụ giải phương trình động lực học.

Khoảng trống học thuật mà luận án giải quyết: Các phương pháp biên tích phân miền thời gian trước đây phụ thuộc vào hàm Green giải tích dạng đóng. Ngược lại, điều kiện biên RABC do luận án phát triển khai thác tính tương hỗ giữa hai miền vô hạn chỉ khác nhau về vị trí biên đặt điều kiện. Nhờ đó, hàm Green số học của hệ thống được thiết lập tự động trong quá trình giải mà không đòi hỏi bất kỳ nghiệm giải tích cơ bản nào, mở ra khả năng mô phỏng trực tiếp các bài toán sóng phức tạp trong miền thời gian.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên nền tảng lý thuyết đàn hồi động học tuyến tính và phương trình truyền sóng âm học. Một trạng thái đàn hồi động học $\mathcal{E} = [\mathbf{u}, \boldsymbol{\sigma}]$ trên miền $R \times T$ thỏa mãn:

1. Độ trơn: $\mathbf{u} \in C^0(R \times T) \cap C^2(R \times T)$, $\boldsymbol{\sigma}, \mathbf{f} \in C^0(R \times T)$.
2. Tham số vật liệu: Khối lượng riêng $\rho > 0$, vận tốc sóng giãn nở $c_d$ và sóng cắt $c_s$ thỏa mãn $0 < 2c_s < c_d\sqrt{3}$.
3. Phương trình chuyển động và quan hệ ứng suất - biến dạng: $$\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}$$ $$\boldsymbol{\sigma} = \rho \left[(c_d^2 - 2c_s^2) \epsilon_{kk} \mathbf{I} + 2c_s^2 \boldsymbol{\epsilon}\right]$$ với $\epsilon_{kk} = \nabla \cdot \mathbf{u}$ là độ giãn nở thể tích.

Trạng thái có quá khứ tĩnh thỏa mãn $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t) = \mathbf{0}$ với $t \le 0$. Tích chập thời gian của hai hàm liên tục được định nghĩa: $$\phi(\mathbf{x}, t) * \psi(\mathbf{x}, t) = \int_0^t \phi(\mathbf{x}, t-\tau) \psi(\mathbf{x}, \tau) d\tau$$

Tác giả thiết lập định lý tương hỗ dựa trên gia tốc (acceleration-based reciprocity theorem) cho hai trạng thái $\mathcal{E}^I$ và $\mathcal{E}^E$ có quá khứ tĩnh: $$\int_{\Gamma} \left( \mathbf{t}^I * \ddot{\mathbf{u}}^E - \mathbf{t}^E * \ddot{\mathbf{u}}^I \right) d\Gamma = \int_R \left( \mathbf{f}^E * \ddot{\mathbf{u}}^I - \mathbf{f}^I * \ddot{\mathbf{u}}^E \right) dR$$ trong đó $\mathbf{t} = \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n}$ là vector ứng suất mặt biên.

Phương pháp nghiên cứu định lượng và kỹ thuật tính toán số:

• Rời rạc hóa không gian: Phương pháp Phần tử Hữu hạn (FEM). Lớp chuyển tiếp giữa biên trong $\Gamma_I$ và biên ngoài $\Gamma_E$ được chia thành các phần tử hữu hạn.
• Tích phân số chập (Convolution Quadrature): Sử dụng quy tắc hình thang với bước thời gian $\Delta t$ đều ($t_k = (k-1)\Delta t$): $$\int_0^{t_k} \mathbf{P}(t_k - \tau) \cdot \mathbf{a}(\tau) d\tau \approx \frac{\Delta t}{2} \mathbf{P}^{(k)} \cdot \mathbf{a}^{(1)} + \Delta t \sum_{m=2}^{k-1} \mathbf{P}^{(k-m+1)} \cdot \mathbf{a}^{(m)} + \frac{\Delta t}{2} \mathbf{P}^{(1)} \cdot \mathbf{a}^{(k)}$$
• Thuật toán tích phân thời gian: Phương pháp Newmark với sơ đồ gia tốc trung bình không đổi ($\beta = 1/4$, $\gamma = 1/2$), đảm bảo tính ổn định vô điều kiện cho bài toán tuyến tính: $$\mathbf{u}{k+1} = \tilde{\mathbf{u}}{k+1} + \beta \Delta t^2 \mathbf{a}{k+1}$$ $$\mathbf{v}{k+1} = \tilde{\mathbf{v}}{k+1} + \gamma \Delta t \mathbf{a}{k+1}$$ $$\tilde{\mathbf{M}} \mathbf{a}{k+1} = \mathbf{P}{k+1}^{eff}, \quad \text{với } \tilde{\mathbf{M}} = \mathbf{M} + \gamma \Delta t \mathbf{C} + \beta \Delta t^2 \mathbf{K}$$
• Cản vật liệu (Rayleigh Damping): Ma trận cản $\mathbf{C} = a_0 \mathbf{M} + a_1 \mathbf{K}$, với các hệ số xác định từ tỷ số cản $\xi$ và hai tần số giới hạn $\omega_1, \omega_2$: $$a_0 = \xi \frac{2\omega_1 \omega_2}{\omega_1 + \omega_2}, \quad a_1 = \xi \frac{2}{\omega_1 + \omega_2}$$
• Giá trị ban đầu tại $t=0$: Được thiết lập thông qua ma trận độ cứng động $S(\omega)$ của biên truyền sóng nhất quán bằng cách giải bài toán trị riêng bậc hai: $$[k^2 \mathbf{A} + ik \mathbf{B} + \mathbf{G} - \omega^2 \mathbf{M}] \boldsymbol{\Delta} = \mathbf{0}$$
• Kỹ thuật PMDLs: Kéo dãn tọa độ phức cho các phần tử biên và góc để triệt tiêu sóng phản xạ trong bán không gian và toàn không gian.

Nội dung chính theo từng chương

Chapter 1: Introduction

Chương này đặt nền tảng tổng quan về bài toán lan truyền sóng trong miền vô hạn và vai trò của các điều kiện biên hấp thụ. Tác giả phân loại các ABC thành hai nhóm chính: cục bộ (local) và phi cục bộ (global/non-local). Chương tổng kết cấu trúc luận án gồm 5 bài báo khoa học (3 bài đã xuất bản và 2 bài đang phản biện) bao quát từ lý thuyết cơ bản đến các ứng dụng đàn hồi động, âm học, bán không gian và toàn không gian.

Chapter 2: Reciprocal absorbing boundary condition for the time-domain numerical analysis of wave motion in unbounded layered media

Chương 2 trình bày chi tiết việc dẫn xuất điều kiện biên RABC trong miền thời gian cho môi trường phân tầng vô hạn chịu biến dạng phẳng và cắt ngoài mặt phẳng. Khi áp dụng $n$ trường hợp lực bước nhảy đơn vị $\mathbf{P}{Ij} = \mathbf{e}j$ ($j = 1, \dots, n$) trên biên trong $\Gamma_I$, định lý tương hỗ gia tốc thiết lập quan hệ: $$\mathbf{P}{Ij} * \mathbf{a}{Ei} = \mathbf{P}{Ei} * \mathbf{a}{Ij}, \quad 1 \le i, j \le n$$ Hệ thống phương trình tại mỗi bước thời gian gồm $3n^2$ ẩn số (gia tốc biên trong $\mathbf{a}_I^{(k+1)}$, gia tốc biên ngoài $\mathbf{a}_E^{(k+1)}$ và lực biên ngoài $\mathbf{P}_E^{(k+1)}$) được giải quyết bằng việc kết hợp $2n^2$ phương trình cân bằng phần tử hữu hạn và $n^2$ phương trình tương hỗ.

Tác giả giải quyết hàng loạt bài toán kiểm chứng số:

• Dầm bán vô hạn trên gối tựa đơn giản (semi-infinite beam on simple supports) và gối tựa đàn hồi (flexible supports) chịu lực bước nhảy (step force), xung tam giác đối xứng, xung chữ nhật và sóng Ricker wavelet.
• Thanh bán vô hạn chịu lực dọc trục.
• Lớp đồng nhất chịu cắt ngoài mặt phẳng và biến dạng phẳng.
• Tầng đất chịu tải trọng sóng Ricker wavelet với các hệ số Poisson $\nu = 0.2, 0.333, 0.45$.

Thông số mô hình kiểm chứng (Chương 2)	Giá trị số
Độ cứng uốn dầm ($EI$)	1.0
Diện tích mặt cắt ngang ($A$)	1.0
Chiều dài phần tử ($L$)	1.0
Khối lượng riêng ($\rho$)	1.0
Tỷ số cản ($\xi$)	0.05
Số phần tử của lưới mở rộng đối chứng (Extended mesh)	100 phần tử

Phân tích sai số chuẩn $L_2$ giữa nghiệm RABC và nghiệm lưới mở rộng chứng minh phương pháp đạt tốc độ hội tụ bậc hai ($O(\Delta t^2)$), phù hợp với quy tắc hình thang và thuật toán Newmark.

Chapter 3: Application of reciprocal absorbing boundary condition to transient analysis of acoustic wave propagation

Chương 3 áp dụng RABC cho bài toán sóng âm quá độ trong ống dẫn sóng dựa trên phương trình sóng tuyến tính theo thế vận tốc (velocity potential $\phi$). Biên áp dụng phương trình tương hỗ có thể gồm các phân đoạn có phương hướng tùy ý.

Nội dung khảo sát bao gồm:

• Bài toán 1D chịu nguồn bước nhảy Heaviside và sóng Ricker tại $x=0$, so sánh nghiệm chuyển vị tại nút 1 ($x_1=0$) và nút 2 ($x_2=L$).
• Bài toán hốc tròn bán kính $R$ nằm trong một kênh vô hạn (circular cavity in an infinite channel). Lưới phần tử hữu hạn mô phỏng sự lan truyền của mặt sóng (wave front) tại các thời điểm $t = 5\text{ s}, 9\text{ s}, 15\text{ s}, 21\text{ s}, 30\text{ s}, 40\text{ s}, 50\text{ s}$. Kết quả cho thấy sóng âm truyền qua biên cắt tỉa mà không gây ra phản xạ giả vào trong kênh.

Chapter 4: Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers for SH waves in a layered half-space

Chương 4 thiết lập sự kết hợp giữa RABC và PMDLs cho sóng cắt phân cực ngang (SH waves) trong bán không gian phân tầng. RABC được áp dụng trên các biên đứng để cắt tỉa miền phân tầng theo phương ngang, trong khi PMDLs được đặt ở đáy để hấp thụ sóng truyền xuống bán không gian sâu bên dưới. Cách tiếp cận này loại bỏ hoàn toàn sự cần thiết của các phần tử góc hấp thụ phức tạp.

Các trường hợp số được phân tích:

• Tầng hai lớp (two-layer stratum) chịu lực bước nhảy.
• Lớp đồng nhất cắt tỉa bởi PMDLs chịu lực sóng Ricker tại điểm A, phân tích đáp ứng tại các điểm A, B, C, D và ảnh chụp mặt sóng tại $t = 1.0\text{ s}, 2.0\text{ s}, 3.0\text{ s}, 4.0\text{ s}$.
• Bán không gian đồng nhất và bán không gian phân tầng chịu tải trọng quá độ, ghi nhận các thời điểm $t = 10\text{ s}, 15\text{ s}, 20\text{ s}, 25\text{ s}, 30\text{ s}, 35\text{ s}, 40\text{ s}, 45\text{ s}$.

Chapter 5: Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers for SV-P waves in a layered half-space

Chương 5 mở rộng mô hình kết hợp RABC - PMDLs cho sóng biến dạng phẳng SV-P (sóng nén P và sóng cắt đứng SV) trong môi trường phân tầng đặt trên nền cứng hoặc trên bán không gian đồng nhất.

Chương này so sánh ba cách tiếp cận dẫn xuất RABC:

1. Dẫn xuất dựa trên định lý tương hỗ chuyển vị.
2. Dẫn xuất dựa trên ma trận độ cứng động.
3. Dẫn xuất dựa trên ma trận phản ứng xung đơn vị gia tốc.

Kết quả kiểm tra độ ổn định dài hạn (long-term stability) cho thấy: khi sử dụng thuần túy PMDLs (purely PMDLs), hệ thống xuất hiện hiện tượng mất ổn định và tích tụ sai số theo thời gian; trong khi đó, mô hình kết hợp RABC với PMDLs duy trì độ chính xác và ổn định bền vững trong thời gian dài.

Chapter 6: Transient analysis of full-space unbounded domains by reciprocal absorbing boundaries

Chương 6 phát triển phương pháp giải cho miền toàn không gian vô hạn (full-space) bao quanh một đĩa tròn chịu 4 chế độ dao động:

1. Dao động dọc trục / ngoài mặt phẳng (vertical/axial response, sóng $w$).
2. Dao động hướng tâm (radial response, sóng $u_r$).
3. Dao động xoắn (torsional response, sóng $u_\theta$).
4. Dao động ngang trong mặt phẳng (horizontal/lateral response, sóng $u_x$).

Các tham số vật chất chuẩn hóa được khảo sát: khối lượng riêng $\rho = 1$, mô đun cắt $\mu = 1$, hệ số Poisson $\nu = 0.25$, tương ứng với vận tốc sóng cắt $c_s = 1\text{ m/s}$ và vận tốc sóng nén $c_d = \sqrt{3}\text{ m/s}$. Luận án phân tích cả phản ứng quá độ dưới tải Ricker wavelet ($t_p = 3/\pi, 3/2\pi$) và phản ứng điều hòa dừng tại các tần số $f = 0.01\text{ Hz}, 1\text{ Hz}, 5\text{ Hz}$ với các tần số không thứ nguyên $a_0 = \omega r / c_s$.

Chế độ dao động đĩa tròn (Chương 6)	Loại sóng kích hoạt	Tần số khảo sát ($f$, $a_0$)	Bước thời gian $\Delta t$ (s)
Dao động đứng (Vertical)	Cắt ngoài mặt phẳng ($w$)	$f = 0.01\text{ Hz}; 1\text{ Hz} (a_0=\pi); 5\text{ Hz} (a_0=5\pi)$	$0.01; 0.01; 0.0025$
Dao động hướng tâm (Radial)	Sóng nén - sóng khối ($u_r$)	$f = 0.01\text{ Hz}; 1\text{ Hz} (a_0=\pi); 5\text{ Hz} (a_0=5\pi)$	$0.01; 0.01; 0.0025$
Dao động xoắn (Torsional)	Sóng cắt trong mặt phẳng ($u_\theta$)	$f = 0.01\text{ Hz}; 1\text{ Hz} (a_0=\pi); 5\text{ Hz} (a_0=5\pi)$	$0.01; 0.01; 0.0025$
Dao động ngang (Horizontal)	Kết hợp nén - cắt ($u_x$)	$f = 0.01\text{ Hz}; 1\text{ Hz} (a_0=\pi); 5\text{ Hz} (a_0=5\pi)$	$0.01; 0.01; 0.0025$

Kết quả và những đóng góp mới

Các đóng góp mới về lý luận và phương pháp:

1. Xây dựng thành công điều kiện biên hấp thụ tương hỗ (RABC) trực tiếp trong miền thời gian dựa trên định lý tương hỗ gia tốc cho môi trường phân tầng đàn hồi tuyến tính và môi trường âm học.
2. Thiết lập cơ chế tự sinh hàm Green số học thông qua việc giải hệ phương trình tương hỗ kết hợp cân bằng phần tử hữu hạn, loại bỏ yêu cầu phải tìm nghiệm cơ bản giải tích đóng cho môi trường phức tạp.
3. Đưa ra giải pháp kết hợp giữa RABC và PMDLs, cung cấp một phương pháp luận nhất quán để mô phỏng bán không gian và toàn không gian vô hạn mà không cần xử lý hình học phần tử góc.
4. Chứng minh bằng thực nghiệm số tốc độ hội tụ bậc hai ($O(\Delta t^2)$) theo chuẩn $L_2$ và tính ổn định dài hạn vượt trội của RABC so với các phương pháp lớp hấp thụ thuần túy.

Các kiến nghị và giải pháp kỹ thuật đề xuất:

• Khuyến nghị tích hợp RABC vào các phần mềm phân tích phần tử hữu hạn kết cấu - đất công trình để giải quyết các bài toán quá độ có phi tuyến cục bộ trong miền gần.
• Đề xuất sử dụng bước thời gian thỏa mãn điều kiện ổn định của Newmark và xấp xỉ hình thang nhằm tối ưu hóa chi phí tính toán khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính tại mỗi bước thời gian.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu:

• Toàn bộ dẫn xuất toán học của định lý tương hỗ và RABC yêu cầu miền xa phải là môi trường đàn hồi tuyến tính (hoặc đàn dẻo tuyến tính) và bất biến theo thời gian. Nếu miền xa xuất hiện ứng xử phi tuyến mạnh, phương pháp tương hỗ không còn áp dụng trực tiếp được.
• Luận án giới hạn phạm vi khảo sát thực nghiệm số trên các bài toán 1D, 2D biến dạng phẳng, cắt ngoài mặt phẳng và bài toán đĩa tròn đối xứng/toàn không gian phẳng; chưa thực hiện mô phỏng cho miền không gian 3D tổng quát với hình học bất kỳ.

Hướng nghiên cứu tiếp theo:

• Mở rộng thuật toán RABC-PMDLs cho các bài toán động lực học công trình 3D hoàn chỉnh.
• Nghiên cứu ứng dụng phương pháp cho các môi trường bất đẳng hướng, môi trường rỗng ngậm nước (porous media) và tương tác động lực học chất lưu - kết cấu nhiều pha trong miền thời gian.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị cao cho:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Cơ học tính toán, Kỹ thuật Xây dựng công trình, Kỹ thuật Địa kỹ thuật, Kỹ thuật Địa chấn và Âm học tính toán.
• Kỹ sư tính toán mô phỏng kết cấu công trình ngầm, móng công trình chịu tải trọng động, đập thủy điện và các hệ thống tương tác đất - công trình phức tạp.

Các phần có giá trị tham khảo kỹ thuật nổi bật:

• Quy trình dẫn xuất định lý tương hỗ gia tốc và cách thức ghép nối phương trình tương hỗ với ma trận cân bằng phần tử hữu hạn (Chương 2).
• Kỹ thuật tính giá trị khởi đầu ($t=0$) sử dụng ma trận độ cứng động từ bài toán trị riêng biên truyền sóng nhất quán (Chương 2 và Chương 5).
• Phương pháp phối hợp RABC với PMDLs để triệt tiêu phản xạ sóng ở các miền bán không gian và toàn không gian mà không cần phần tử góc (Chương 4, Chương 5, Chương 6).

Câu hỏi thường gặp

1. Định lý tương hỗ dạng gia tốc (acceleration-based reciprocity theorem) trong luận án khác gì so với định lý tương hỗ chuyển vị truyền thống? Định lý tương hỗ chuyển vị cổ điển (Graffi, Wheeler & Sternberg) biểu diễn mối liên hệ tích chập thời gian giữa lực mặt/lực thể tích và trường chuyển vị. Tác giả đã lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian của quỹ đạo chuyển vị để thiết lập quan hệ tích chập trực tiếp giữa ứng suất mặt $\mathbf{t}$, lực thể tích $\mathbf{f}$ và trường gia tốc $\ddot{\mathbf{u}}$: $$\int_{\Gamma} (\mathbf{t}^I * \ddot{\mathbf{u}}^E - \mathbf{t}^E * \ddot{\mathbf{u}}^I) d\Gamma = \int_R (\mathbf{f}^E * \ddot{\mathbf{u}}^I - \mathbf{f}^I * \ddot{\mathbf{u}}^E) dR$$ Dạng gia tốc này tương thích tự nhiên với phương trình vi phân chuyển động cân bằng động lực học rời rạc trong FEM và sơ đồ tích phân Newmark.

2. Tại sao phương pháp RABC không cần đến hàm nghiệm cơ bản giải tích (analytical fundamental solution)? Trong phương pháp phần tử biên truyền thống, việc thiết lập phương trình đòi hỏi nghiệm giải tích tường minh của nguồn điểm (hàm Green) trong môi trường khảo sát. RABC áp dụng định lý tương hỗ giữa hai miền vô hạn giống hệt nhau nhưng tịnh tiến vị trí biên (biên trong $\Gamma_I$ và biên ngoài $\Gamma_E$). Quá trình giải hệ phương trình đại số kết hợp giữa các phương trình cân bằng phần tử hữu hạn của cột phần tử chuyển tiếp và các phương trình tương hỗ sẽ tự động trích xuất các phản ứng biên tương đương với việc xác định hàm Green số học của hệ thống.

3. Hệ phương trình RABC được thiết lập và giải tại mỗi bước thời gian như thế nào? Tại mỗi bước thời gian $t_{k+1}$, khi áp dụng $n$ trường hợp tải bước nhảy đơn vị trên biên trong $\Gamma_I$ ($n$ là số bậc tự do nút trên biên), bài toán có $3n^2$ ẩn số bao gồm gia tốc biên trong $\mathbf{a}_I^{(k+1)}$, gia tốc biên ngoài $\mathbf{a}_E^{(k+1)}$ và lực nút biên ngoài $\mathbf{P}_E^{(k+1)}$. Hệ phương trình được đóng kín bằng cách kết hợp $2n^2$ phương trình cân bằng động lực học phần tử hữu hạn của miền chuyển tiếp và $n^2$ phương trình tương hỗ tích chập thời gian được rời rạc hóa bằng quy tắc hình thang.

4. Ưu điểm nổi bật của việc kết hợp RABC với PMDLs trong bài toán bán không gian và toàn không gian là gì? Khi mô phỏng bán không gian hoặc toàn không gian bằng các phương pháp biên hấp thụ thông thường, khu vực góc giao nhau giữa biên đứng và biên đáy đòi hỏi các phần tử góc (corner elements) đặc biệt rất khó xây dựng và dễ gây mất ổn định số. Sự kết hợp RABC (cho biên đứng) và PMDLs (cho biên đáy/miền mở rộng) xử lý triệt để bài toán lan truyền sóng đa hướng mà không cần dùng phần tử góc, đồng thời khắc phục triệt để hiện tượng mất ổn định dài hạn (long-term instability) của các mô hình chỉ dùng thuần túy PMDLs.

5. Những dạng tải trọng và sóng nào đã được sử dụng để kiểm chứng phương pháp trong luận án? Luận án sử dụng nhiều dạng kích thích động học gồm: lực bước nhảy Heaviside (step force/moment), xung tam giác đối xứng, xung chữ nhật, sóng Ricker wavelet với các tham số chu kỳ đỉnh khác nhau ($t_p = 3/\pi, 3/2\pi$), và lực điều hòa dừng (harmonic forces) ở các dải tần số từ $0.01\text{ Hz}$ đến $5\text{ Hz}$. Các dạng sóng kiểm chứng bao gồm sóng uốn, sóng dọc, sóng âm trong chất lưu, sóng cắt ngoài mặt phẳng (SH), sóng nén - cắt phối hợp trong mặt phẳng (SV-P), và sóng phát tán từ đĩa tròn rung động trong toàn không gian.

Kết luận

Luận án của tác giả Cuong Tan Nguyen đã phát triển thành công điều kiện biên hấp thụ tương hỗ (RABC) trong miền thời gian cho các bài toán lan truyền sóng trong môi trường vô hạn. Bằng việc kết hợp định lý tương hỗ gia tốc với phương pháp phần tử hữu hạn, quy tắc hình thang và kỹ thuật PMDLs, nghiên cứu đã giải quyết bài toán mô phỏng miền vô hạn phân tầng, bán không gian và toàn không gian mà không cần sử dụng nghiệm cơ bản giải tích hay phần tử góc phức tạp. Các kết quả kiểm chứng số trong động lực học công trình, âm học và đàn hồi động khẳng định phương pháp đạt tốc độ hội tụ bậc hai, độ chính xác cao và duy trì tính ổn định số bền vững trong phân tích dài hạn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Copyright by Cuong Tan Nguyen 2017 The Dissertation Committee for Cuong Tan Nguyen certifies that this is the approved version of the following dissertation: Time-domain Reciprocal Absorbing Boundaries Committee: John L. Tassoulas, Supervisor Lance Manuel Mark E. Mear Krishnaswamy Ravi-Chandar Spyros A. Kinnas Time-domain Reciprocal Absorbing Boundaries by Cuong Tan Nguyen, DISSERTATION Presented to the Faculty of the Graduate School of The University of Texas at Austin in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of DOCTOR OF PHILOSOPHY THE UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN December 2017 Dedicated to our parents, my beloved wife Na Huynh and son Austin Nguyen.

Acknowledgments First of all, I would like to express my sincere gratitude and deep appre- ciation to my doctoral advisor, Professor John L. Tassoulas, for his innovative ideas on this research, for his great source of knowledge, inspiration and en- couragement. I am thankful to Professors Lance Manuel, Mark E. Ravi- Chandar, Spyros A.

Kinnas for serving on my doctoral committee, for their valuable suggestions and for their inspiring courses. I wish to thank my friends at MUSE Lab, Heedong Goh, Babak Poursartip, Arash Fathi, Seungbum Koo, Ying-Chuan Chen, Nan-You Lu and Sedef Kocakaplan. They are definitely a part of my memorable time at UT Austin. I would also like to thank CAEE staffs, Leslie McCroddan and Velma Vela for their great supports.

I thank the Vietnam Education Foundation for granting a Fellowship during my first two years at UT Austin. Futhermore, I thank the Cockrell School of Engineering for giving me the chance to serve as the teaching assis- tant of several classes related to Computer methods and Mechanics. Most of all, I would like to thank my parents, parents-in-law and ex- press my deep appreciation to my beloved wife Na Huynh and son Austin Nguyen. Without their endless love, supports, encouragement and sympathy, this Dissertation would not have been possible.

Time-domain Reciprocal Absorbing Boundaries Publication No. Cuong Tan Nguyen, Ph. The University of Texas at Austin, 2017 Supervisor: John L. Tassoulas Accurate and efficient computational treatments of wave propagation in unbounded media rely on special absorbing boundaries.

In most of the problems, the region of interest is only a small part, the “near field”, of an extensive, arguably, infinite domain. On the boundary of the near field, ab- sorbing boundaries are introduced in order to mimic the absorption of waves into the exterior domain. They represent to various degrees of approximation the “far field” as viewed from the near field which normally contains irregu- larities and nonlinearities. In general, absorbing boundaries for the time-domain analysis of wave propagation in unbounded media can be classified into two categories, global and local ones.

The aim of this disseration is to develop novel “global” absorb- ing boundaries by means of reciprocity theorems. The study deals with elasto- dynamics in anti-plane shear and plane strain, acoustic waves in waveguides. The domains under consideration include layered strata, layered half-spaces and the full-space. vi Table of Contents v vi xiii xiv 1 ¬ 1 1.

Heciprocal absorbing boundary condition for the time-domain numerical analysis of wave motion in unbounded layered medial 5 Le 5 2.2 Notation and deimUion|.3 Time-domain reciprocity theorems for elastodynamics] .4 Derivation of reciprocal absorbing boundary condition].4 Reciprocal absorbing boundary condition (RABC)|.1 Semi-infinite beam on simple supports] .2 Semi-infinite beam on flexible supports].4 Stratum in plane stramn|.5 Stratum in antiplane shear. 30 TT xxx xà 30 |.1 Semi-inũnite beam on sinple supports|.2 Semi-infinite beam on flexible supports].4 Semi-infinite layer in anti-plane shear] .5 Semi-infinite layer in plane straimn|.6 Stratum under Ricker wavelet load).3 Rectangular element in antiplane shear and plane strain] 47 [2.4 Matrices for the consistent transimitting boundary]. 48 Tu ng ng xxx xà 48 2. HQ HH HT 51 2.

Application of reciprocal absorbing boundary con- dition to transient analysis of acoustic wave propa- gation| 58 Se 59 [3.2 ReciprocHty theorems Íor acouslic|.1 The linear wave equation for velocity potential] .2 Acoustic reciprocity theorems|.1 Reciprocity in the frequency domain] .2 Reciprocity in the time domain] .3 Reciprocal absorbing boundary condition).1 Finite elements for acoustic wave propagation].1 The semi-discrete form|. 66 nu ng xo 68 [3.2 Derivation of reciprocal absorbing boundary condition] .1 The original semi-infinite problem].3 The construction of reciprocal absorbing bound- | ary condition).1 One-dimensional problem|. Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers for SH waves in a layered half-space] 91 ¬ 92 [4.2 Reciprocal absorbing boundary condilion|.2 Derivation of reciprocal absorbing boundary condition] .2 ‘Time-stepping algorthm|.4 Reciprocal absorbing boundary condition].j_ Perfectly Matched Discrete Layes|.3L _Einite element diserelzalon|l.4 Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers[ 0 109 Le 110 [4.1 A two-layer stratum truncated by RABC] .2 A homogeneous layer truncated by PMDLs] .3 A homogeneous half-space truncated by RABC and PMDLs|L13 [4.4 A layered half-space truncated by RABC & PMDLs]. Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers for 5V-P waves in a layered hali-space] 122 ¬ 123 |5.2_ Reciprocal absorbing boundary condition for astratum|.1 Derivation on the basis of the displacement-based [ reeIprocity theorem|.2 Derivation based on the dynamic stiffness matrix] 130 [5.3 Derivation based on the acceleration unit-impulse [ T€SpOnSc mafrIX].2 Convolution quadrature and time-stepping scheme] .3 The construction of reciprocal absorbing boundary con- dition (RABO)|.4 Computing initial values}.3 Perfectly matched discrete layers for SV-P waves].1 Eimite element diseretizalion .4 Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers[ 0 147 5.1 RABC Íor atwo-layerstratum|.3 Á homogeneous half-space|l.

‘Transient analysis of full-space unbounded domains by reciprocal absorbing boundaries| 172 Se 172 [6.2 Reciprocal absorbing boundary condition (RABC)].1 Acceleration based reciprocity theorem].2 The construction of Reciprocal Absorbing Boundary Con- dition].3 Perfectly matched discrete layers (PMDLs)|.1 Semidiscrete equation of motion) .1 ẢntL-plane shear|.4 Reciprocal absorbing boundary condition with perfectly matched discrete layers[ 0 183 6.2 Steady-state phase for harmonic forces:].2 Steady-state phase for harmonic forces:].2 Steady-state phase for harmonic forces:].2 Steady-state phase for harmonic forces:]. ee 208 209 xi Vital 218 xil List of Tables [2.1 Parameters for time and space discretization].1 Material properties of the layered half-space].L Parameters of the stratum.1 Vertical response: Relative error in L? norm at sample points | between RABCs-PMDLs and extended mesh solution.2 Radial response: Relative error in L? norm at sample points | [ between RABCs-PMDlLs and extended-mesh solution.3 Torsional response: Relative error in L? norm at sample points | [ between HÀ BGs-PˆMILs and extended mesh solutlon.4 Horizontal response: Relative error in L? norm at sample points | [ between RABC-PMDLs and extended mesh solution. xiii List of Figures 2.1 A soil-structure system] .2 Reciprocal absorbing boundary condition] .3 Two regions to which the reciprocity theorem is applied] .4 5emi-infinite beam on simpÌe supports|.5 Semi-infinite beam on flexible supports].7 Convergence test for a semi-infinite beam on simple supports | | (left) and a semi-infinite rod (right) subjected to a step force] 3l [2.8 Stability test for a semi-infinite beam on simple supports sub- | | Jected to a step iorce at node l|.9 ‘Transient response of a semi-infinite beam on simple supports | | sub]Jected to a step lorce at node l|.10 Profiles of symmetrical triangular pulse, Ricker wavelet, or rect- | [ angular pulse lorces at node l|.11 Transient response of a semi-infinite beam on simple supports | | subjected to a symmetrical triangular pulse lorce at at node l| 34 [2.12 ‘Transient response of a semi-infinite beam on simple supports | | subjected to a Ricker wavelet force at node 1].13 Transient response of a semi-infinite beam on simple supports | | subJected to a rectangular pulse iorce at node l|.14 ‘Transient response of a semi-infinite beam on flexible supports | [ sub]Jected to a step lorce at node l|.15 ‘Transient response of a semi-infinite beam on flexible supports | | subJected to a step moment at node l|.16 Response of a semi-infinite rod subjected to an axially step force | at node l[. Q Q Q Q HQ HQ kh ov [2.17 Response of a semi-infinite rod subjected to an axially step force | at node l[.

Q Q Q Q HQ HQ kh 38 [2.18 A homogeneous layer in antiplane shear].19 Displacement at nodes I and 2 due to force at node 1].20 Displacement at nodes I and 2 due to force at node 2].21 À homogeneous layer in pÏane stram|.22 Displacement in x and y directions due to a horizontal force.23 Displacement in x and y directions due to a vertical force] .24 Stratum under a Ricker wavelet load].25 Stratum _under_a Ricker wavelet load: the computational do- | main and the extended mesh[.26 ‘Transient response of a stratum under a Ricker wavelet load | ( = U.27 Transient response of a stratum under a Ricker wavelet load | (v = 0.28 Transient response of a stratum under a Ricker wavelet load | (v = 0.1 A semi-infinite waveguide: (a) the origional semi-infinite prob- | Tem, (b) the sketch of problem with truncated domain].2 The construction of RABC: (a) the column of elements in RABC, (b) state I: the domain starts from the interior boundary I’y, (c) state E: the domain starts from the exterior boundary |.3 The profile of Ricker wavelet sourceat+œ =0] .4 Responses at node 1 (TY): a; = 0 and node 2 ([%): x9 =I for two source cases: (left) Heaviside step source and (right) Ricker wavelet source] 2.5 Convergence test for one-dimensional problem when the normal | source f(t) 1s a Heaviside step function].6 Stability test for one-dimensional problem when the normal | source f(t) is a Heaviside step funciion.7__A circular cavity embedded in an infinite channel].8 Finite element mesh for the channel problem] .9 Transient response of poin À|.10 Transient response of poin BỊ.11 Transient response of poin C|.12 Wave front takenatt=5s).13 Wave front takenatt=9s).14 Wave front taken atf=15s) .16 Wave ront taken atứ=2ls] .17 Wave lront taken at £=30s|.18 Wave lront taken at £=40s[.19 Wave lront taken at £=ð0s|.20 Wave fronts taken at =5 sand/=9s].21 Wave fronts taken att=15s andt=24s].22 Wave fronts taken at t= 30s andt=40s].1 Reciprocal absorbing boundary condition] .2 Splitting the half-space into a layer and the lower half-space].4 Á two-layer stratum|.5 ‘Transient response of the two-layer stratum subjected to a step | force at node lJ.6 ‘Transient response of the two-layer stratum subjected to a step | lorce at node 2|. Q Q Q TQ HQ So 112 [4.7 A homogeneous layer truncated by PMDLs|.8 The profile of Ricker wavelet force at point A] .9_ The transient response oÍ pomts À &@B|.10 The transient response of pomts C& D|.11 Snapshots of wave front at t = 1.12 Snapshots of wave front at t = 2.13 Snapshots of wave front at t = 3.14 Snapshots of wave front at t = 4.15 RABC with PMDLs for a homogeneous half-space].16 Snapshots of wave front att=10sandt=15s].17 Snapshots of wave Íront at £ = 2.18 Snapshots of wave Íront at £ = 3.19 Snapshots of wave front att=40sandt=45s].20 RABC with PMDLs for a layered halEspace.21 Snapshots of wave Íront at £ = 2.22 5napshots of wave Íront at £ = 3.23 Snapshots of wave front att=40s andt=45s].1 Reciprocal absorbing boundary condition, Py = TYUrY UTS U | | T?Pe=TRZUPRUTRULE] Oe ee 126 öð.3 Splitting the half-space into a layer and the lower half-space].4 Stretching PMDL elements: (a) regular element, (b) PMDL, edge element, (c) PMDL, edge element, (d) PMDL,, corner element].5 Sketch of Gaussian points for regular and PMDL elements in | | the problem of a hal-space|./ Á two-layer siratum|.8 ‘Transient responses of node 1 (left) and node 2 (right)|.9 Convergence test for the two-layer stratum under Heaviside | step-lorce JJ(f). HQ HH HH ha 152 5.11 The profile of Ricker waveletoreel.12 Errors and condition number «(M) versus number of PMDLs.13 Snapshots of the vertical displacement u, taken at t = 1.14 Snapshots of the vertical displacement u, taken at t = 1.15 Snapshots of the vertical displacement u, taken at t = 2.16 Accuracy and stability of RABC in long-term response].