I. Giả Thuyết Erdo s Szekeres Tổng Quan Lịch Sử Hình Thành
Giả thuyết Erdös-Szekeres là một bài toán nổi tiếng trong hình học tổ hợp, được đề xuất từ rất sớm, năm 1935, bởi Esther Klein. Phát biểu của giả thuyết rất đơn giản: mọi tập hợp trên mặt phẳng gồm không ít hơn 2^(n-2) + 1 điểm ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng) đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi. Mặc dù phát biểu đơn giản, nhưng sau gần một thế kỷ, giả thuyết Erdös-Szekeres mới được chứng minh cho các trường hợp n = 3, 4, 5. Gần đây, năm 2006, trường hợp n = 6 mới được chứng minh nhờ máy tính. Luận văn này trình bày chứng minh một số kết quả đã biết trong bài toán Erdös-Szekeres và hai bài toán mở rộng liên quan đến vị trí điểm và đa giác lồi rỗng.
1.1. Bài Toán Esther Klein Khởi Nguồn Giả Thuyết Erdo s Szekeres
Năm 1933, Esther Klein đã chứng minh rằng với năm điểm cho trước trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát, luôn tìm được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. Klein xét bao lồi lớn nhất chứa tất cả năm điểm. Nếu bao lồi là một ngũ giác, mọi bộ bốn điểm đều tạo thành tứ giác lồi. Nếu bao lồi là một tứ giác chứa một điểm bên trong, tứ giác đó là tứ giác lồi gần rỗng và có thể tìm thấy một tứ giác lồi rỗng. Nếu bao lồi là một tam giác, hai điểm còn lại bên trong tam giác tạo thành một tứ giác lồi rỗng với hai đỉnh của tam giác. Chứng minh của Klein đánh dấu sự khởi đầu cho nghiên cứu sâu rộng về giả thuyết Erdös-Szekeres.
1.2. Phát Triển Các Bài Toán Liên Quan Đến ES n
Từ bài toán của Klein, bài toán tổng quát hơn được đặt ra: xác định số nguyên dương N(n) nhỏ nhất sao cho mọi tập có tối thiểu N(n) điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát chứa n điểm tạo thành một đa giác lồi n đỉnh. Szekeres đã chứng minh sự tồn tại của N(n) dựa trên định lý Ramsey. Erdös đưa ra đánh giá tốt hơn cho N(n) bằng cách kết hợp hình học với lý thuyết tổ hợp. Hiện nay, đánh giá tốt nhất cho N(n) là của Tóth và Valtr. Tuy nhiên, việc xác định chính xác giá trị của N(n) vẫn là một thách thức lớn. Giả thuyết Erdös-Szekeres có liên quan chặt chẽ đến các lĩnh vực khác của toán học và tin học, như lý thuyết Ramsey, lý thuyết đồ thị, và hình học tổ hợp.
II. Thách Thức Mở Rộng Giả Thuyết Erdo s Szekeres Cho Điểm Bất Kỳ
Giả thuyết Erdös-Szekeres ban đầu yêu cầu các điểm phải ở vị trí tổng quát, nghĩa là không có ba điểm nào thẳng hàng. Tuy nhiên, điều kiện này không phải lúc nào cũng được đáp ứng trong thực tế. Do đó, một số tác giả đã mở rộng bài toán Erdös-Szekeres cho trường hợp các điểm ở vị trí bất kỳ. Việc mở rộng này đòi hỏi phải định nghĩa lại khái niệm đa giác lồi. Khi các điểm có thể thẳng hàng, không thể có đa giác lồi theo nghĩa thông thường. Vì vậy, cần phải đưa ra khái niệm đa giác lồi suy rộng. Luận văn này đi sâu vào các bài toán mở rộng này, cung cấp các định nghĩa và chứng minh liên quan.
2.1. Đa Giác Lồi Suy Rộng Định Nghĩa Và Tính Chất
Cho một tập hợp hữu hạn điểm trên mặt phẳng. Ta nói rằng tập hợp đó là một đa giác lồi suy rộng nếu mọi điểm của tập hợp đều nằm trên biên của bao lồi của tập hợp. Nếu có bốn điểm thẳng hàng, ta chỉ coi ba điểm liên tiếp là tam giác suy rộng, và bốn điểm liên tiếp là tứ giác suy rộng. Điểm trên bao lồi được gọi là điểm góc nếu việc loại bỏ điểm đó làm thay đổi bao lồi. Ngược lại, điểm đó được gọi là điểm cạnh. Số đỉnh của đa giác lồi suy rộng bằng số phần tử của tập hợp, mặc dù số đỉnh thật sự (số điểm góc) có thể ít hơn. Nghiên cứu về đa giác lồi suy rộng mở ra một hướng tiếp cận mới cho Giả Thuyết Erdös-Szekeres.
2.2. Bài Toán ES n Mở Rộng Sự Tồn Tại Của ES n
Với số n cho trước, bài toán ES(n) mở rộng đặt câu hỏi: liệu có tồn tại số ES(n) sao cho mọi tập có tối thiểu ES(n) điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ đều chứa n điểm là đỉnh của một n-giác lồi suy rộng? Câu trả lời cho câu hỏi này không hề đơn giản. Việc chứng minh sự tồn tại của ES(n) đòi hỏi những kỹ thuật và phương pháp phức tạp. Luận văn này trình bày lời giải cho bài toán ES(n) cho các trường hợp n = 3, 4, 5, sử dụng các kỹ thuật hình học và tổ hợp.
III. Lời Giải Cho ES 3 ES 4 ES 5 Cách Tiếp Cận Kết Quả Chi Tiết
Luận văn trình bày lời giải bài toán ES(n) cho các trường hợp n=3, 4, 5. Để thuận tiện, các ký hiệu lực lượng tập hợp và cấu hình điểm được quy ước rõ ràng. Việc phân tích các cấu hình điểm khác nhau trên mặt phẳng là chìa khóa để chứng minh các kết quả này. Các chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp và xét các trường hợp khác nhau, dựa trên số lượng điểm nằm trên biên của bao lồi và bên trong bao lồi. Các cấu hình con chuẩn tắc được sử dụng để đơn giản hóa các chứng minh.
3.1. ES 3 3 Chứng Minh Cho Tam Giác Lồi Suy Rộng
Công thức ES(3) = 3 được chứng minh bằng cách xét hai khả năng: ba điểm không thẳng hàng hoặc ba điểm thẳng hàng. Nếu ba điểm không thẳng hàng, chúng tạo thành một tam giác chính quy. Nếu ba điểm thẳng hàng, chúng tạo thành một tam giác suy rộng. Vì vậy, mọi tập có tối thiểu ba điểm đều chứa một tam giác lồi suy rộng. Chứng minh này đơn giản nhưng là nền tảng cho các chứng minh phức tạp hơn.
3.2. ES 4 5 Chứng Minh Cho Tứ Giác Lồi Suy Rộng
Công thức ES(4) = 5 được chứng minh bằng cách xét các cấu hình của năm điểm. Nếu có ít nhất bốn điểm nằm trên biên của bao lồi, chúng tạo thành một tứ giác lồi suy rộng. Nếu có ba điểm nằm trên biên của bao lồi và hai điểm nằm bên trong, tia nối hai điểm bên trong chia mặt phẳng thành hai miền. Một trong hai miền này chứa đúng hai đỉnh của bao lồi, và bốn điểm này tạo thành một tứ giác lồi suy rộng. Điều này chứng minh rằng mọi tập có tối thiểu năm điểm đều chứa một tứ giác lồi suy rộng.
3.3. ES 5 9 Chứng Minh Cho Ngũ Giác Lồi Suy Rộng
Chứng minh ES(5) = 9 phức tạp hơn và sử dụng phương pháp xét bao lồi theo chiều giảm dần về số đỉnh. Các khả năng được xét bao gồm: ít nhất năm điểm nằm trên biên của bao lồi, bốn điểm nằm trên biên của bao lồi, và ba điểm nằm trên biên của bao lồi. Với mỗi khả năng, các cấu hình con chuẩn tắc được sử dụng để chứng minh rằng luôn tồn tại năm điểm tạo thành một ngũ giác lồi suy rộng. Chứng minh này đòi hỏi sự phân tích tỉ mỉ các trường hợp và áp dụng các mệnh đề hình học.
IV. Giả Thuyết Erdo s Szekeres Với n 6 Nghiên Cứu Trường Hợp Riêng
Trường hợp n = 6 của giả thuyết Erdös-Szekeres rất khó chứng minh. Trường hợp n = 6 mới được Szekeres và Peters chứng minh năm 2006 nhờ máy tính và Knut Dehnhardt, Heiko Harborth, and Zsolt Lángi, V.Koshelev chứng minh cho một số trường hợp riêng (không dùng máy tính) năm 2009.
4.1. Tóm Tắt Công Trình Nghiên Cứu của Knut Dehnhardt Heiko Harborth and Zsolt Lángi
Luận văn trình bày lại một cách tóm lược công trình của Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi [9] đã chứng minh cho giả thuyết Erdös-Szekeres với trường hợp n = 6 trong một số trường hợp riêng mà không sử dụng máy tính. Công trình của Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi [9] đã chứng minh cho giả thuyết Erdös-Szekeres với trường hợp n = 6 trong một số trường hợp riêng mà không sử dụng máy tính.
V. Bài Toán Erdo s Về Đa Giác Lồi Rỗng Tổng Quan Lời Giải
Bài toán Erdös về sự tồn tại đa giác lồi rỗng là một bài toán liên quan đến giả thuyết Erdös-Szekeres. Bài toán này đặt ra câu hỏi về số lượng điểm tối thiểu cần thiết để đảm bảo sự tồn tại của một đa giác lồi rỗng với một số đỉnh nhất định. Một đa giác lồi rỗng là một đa giác lồi không chứa bất kỳ điểm nào khác bên trong nó. Bài toán này đã được nghiên cứu rộng rãi, và nhiều kết quả đã được tìm ra.
5.1. Lịch Sử và Định Nghĩa Đa Giác Lồi Rỗng
Bài toán Erdös về đa giác lồi rỗng có một lịch sử phát triển thú vị. Nhiều nhà toán học đã đóng góp vào việc giải quyết bài toán này. Đa giác lồi rỗng là một đa giác lồi không chứa bất kỳ điểm nào khác bên trong nó. Định nghĩa này đơn giản nhưng lại dẫn đến nhiều câu hỏi phức tạp.
5.2. Lời Giải Bài Toán H n cho n 3 4 5
Luận văn này cũng trình bày lời giải bài toán H(n) cho các trường hợp n = 3, 4, 5. Các chứng minh sử dụng các kỹ thuật hình học và tổ hợp tương tự như trong việc giải bài toán ES(n). Các kết quả này cung cấp thông tin quan trọng về cấu trúc của các tập điểm trên mặt phẳng.
VI. Kết Luận Hướng Nghiên Cứu Mới Tương Lai Của Giả Thuyết Erdo s Szekeres
Giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài toán mở rộng liên quan tiếp tục là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động trong toán học. Việc tìm ra các chứng minh đơn giản hơn cho các trường hợp đã được giải quyết, cũng như việc giải quyết các trường hợp còn mở (như n = 7 trở lên), là những thách thức lớn. Các kỹ thuật mới trong hình học tổ hợp, lý thuyết đồ thị và lý thuyết Ramsey có thể đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán này.
6.1. Các Bài Toán Mở Thách Thức Trong Hình Học Tổ Hợp
Nhiều bài toán mở khác trong hình học tổ hợp có liên quan đến giả thuyết Erdös-Szekeres. Các bài toán này thách thức các nhà toán học tìm ra các phương pháp mới để phân tích cấu trúc của các tập điểm và các hình hình học. Việc giải quyết các bài toán này có thể dẫn đến những khám phá quan trọng trong toán học và các ứng dụng thực tế.
6.2. Ứng Dụng Tiềm Năng Của Nghiên Cứu Về Erdo s Szekeres
Nghiên cứu về giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài toán liên quan có thể có những ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực như khoa học máy tính, thị giác máy tính, và thiết kế mạch tích hợp. Các kết quả trong lĩnh vực này có thể giúp cải thiện hiệu quả của các thuật toán và giải quyết các bài toán thực tế.
