Giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài toán liên quan

• Người hướng dẫn: PGS. Tạ Duy Phượng
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Giả thuyết Erdös-Szekeres và một số bài toán liên quan
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2011
• Địa điểm: Thái Nguyên

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: Giả thuyết Erdös-Szekeres và một số bài toán mở rộng
• 1.1. Tổng quan về giả thuyết Erdös – Szekeres
• 1.2. Lịch sử của bài toán Erdös-Szekeres
• 1.3. Bài toán Erdös-Szekeres cho trường hợp các điểm ở vị trí bất kì
• 1.4. Lời giải Bài toán ES(n) cho trường hợp n = 3, 4, 5 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.4.1. Lời giải Bài toán ES(n) cho trường hợp n = 3 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.4.2. Lời giải Bài toán ES(n) cho trường hợp n = 4 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.4.3. Lời giải Bài toán ES(n) cho trường hợp n = 5 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.5. Bài toán Erdös về sự tồn tại đa giác lồi rỗng
• 1.6. Lịch sử Bài toán Erdös về đa giác lồi rỗng
• 1.7. Đa giác lồi rỗng
• 1.8. Đa giác lồi rỗng suy rộng
• 1.9. Lời giải bài toán H(n) cho trường hợp n = 3, 4, 5 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.9.1. Chứng minh công thức H(n) cho trường hợp n = 3 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.9.2. Chứng minh công thức H(n) cho trường hợp n = 4 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.9.3. Chứng minh công thức H(n) cho trường hợp n = 5 với tập điểm ở vị trí bất kỳ
• 1.10. Chứng minh giả thuyết Erdös-Szekeres với trường hợp n = 6 trong một số trường hợp riêng
• Tài liệu tham khảo

I. Giả Thuyết Erdo s Szekeres Tổng Quan Lịch Sử Hình Thành

Giả thuyết Erdös-Szekeres là một bài toán nổi tiếng trong hình học tổ hợp, được đề xuất từ rất sớm, năm 1935, bởi Esther Klein. Phát biểu của giả thuyết rất đơn giản: mọi tập hợp trên mặt phẳng gồm không ít hơn 2^(n-2) + 1 điểm ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng) đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi. Mặc dù phát biểu đơn giản, nhưng sau gần một thế kỷ, giả thuyết Erdös-Szekeres mới được chứng minh cho các trường hợp n = 3, 4, 5. Gần đây, năm 2006, trường hợp n = 6 mới được chứng minh nhờ máy tính. Luận văn này trình bày chứng minh một số kết quả đã biết trong bài toán Erdös-Szekeres và hai bài toán mở rộng liên quan đến vị trí điểm và đa giác lồi rỗng.

1.1. Bài Toán Esther Klein Khởi Nguồn Giả Thuyết Erdo s Szekeres

Năm 1933, Esther Klein đã chứng minh rằng với năm điểm cho trước trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát, luôn tìm được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. Klein xét bao lồi lớn nhất chứa tất cả năm điểm. Nếu bao lồi là một ngũ giác, mọi bộ bốn điểm đều tạo thành tứ giác lồi. Nếu bao lồi là một tứ giác chứa một điểm bên trong, tứ giác đó là tứ giác lồi gần rỗng và có thể tìm thấy một tứ giác lồi rỗng. Nếu bao lồi là một tam giác, hai điểm còn lại bên trong tam giác tạo thành một tứ giác lồi rỗng với hai đỉnh của tam giác. Chứng minh của Klein đánh dấu sự khởi đầu cho nghiên cứu sâu rộng về giả thuyết Erdös-Szekeres.

1.2. Phát Triển Các Bài Toán Liên Quan Đến ES n

Từ bài toán của Klein, bài toán tổng quát hơn được đặt ra: xác định số nguyên dương N(n) nhỏ nhất sao cho mọi tập có tối thiểu N(n) điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát chứa n điểm tạo thành một đa giác lồi n đỉnh. Szekeres đã chứng minh sự tồn tại của N(n) dựa trên định lý Ramsey. Erdös đưa ra đánh giá tốt hơn cho N(n) bằng cách kết hợp hình học với lý thuyết tổ hợp. Hiện nay, đánh giá tốt nhất cho N(n) là của Tóth và Valtr. Tuy nhiên, việc xác định chính xác giá trị của N(n) vẫn là một thách thức lớn. Giả thuyết Erdös-Szekeres có liên quan chặt chẽ đến các lĩnh vực khác của toán học và tin học, như lý thuyết Ramsey, lý thuyết đồ thị, và hình học tổ hợp.

II. Thách Thức Mở Rộng Giả Thuyết Erdo s Szekeres Cho Điểm Bất Kỳ

Giả thuyết Erdös-Szekeres ban đầu yêu cầu các điểm phải ở vị trí tổng quát, nghĩa là không có ba điểm nào thẳng hàng. Tuy nhiên, điều kiện này không phải lúc nào cũng được đáp ứng trong thực tế. Do đó, một số tác giả đã mở rộng bài toán Erdös-Szekeres cho trường hợp các điểm ở vị trí bất kỳ. Việc mở rộng này đòi hỏi phải định nghĩa lại khái niệm đa giác lồi. Khi các điểm có thể thẳng hàng, không thể có đa giác lồi theo nghĩa thông thường. Vì vậy, cần phải đưa ra khái niệm đa giác lồi suy rộng. Luận văn này đi sâu vào các bài toán mở rộng này, cung cấp các định nghĩa và chứng minh liên quan.

2.1. Đa Giác Lồi Suy Rộng Định Nghĩa Và Tính Chất

Cho một tập hợp hữu hạn điểm trên mặt phẳng. Ta nói rằng tập hợp đó là một đa giác lồi suy rộng nếu mọi điểm của tập hợp đều nằm trên biên của bao lồi của tập hợp. Nếu có bốn điểm thẳng hàng, ta chỉ coi ba điểm liên tiếp là tam giác suy rộng, và bốn điểm liên tiếp là tứ giác suy rộng. Điểm trên bao lồi được gọi là điểm góc nếu việc loại bỏ điểm đó làm thay đổi bao lồi. Ngược lại, điểm đó được gọi là điểm cạnh. Số đỉnh của đa giác lồi suy rộng bằng số phần tử của tập hợp, mặc dù số đỉnh thật sự (số điểm góc) có thể ít hơn. Nghiên cứu về đa giác lồi suy rộng mở ra một hướng tiếp cận mới cho Giả Thuyết Erdös-Szekeres.

2.2. Bài Toán ES n Mở Rộng Sự Tồn Tại Của ES n

Với số n cho trước, bài toán ES(n) mở rộng đặt câu hỏi: liệu có tồn tại số ES(n) sao cho mọi tập có tối thiểu ES(n) điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ đều chứa n điểm là đỉnh của một n-giác lồi suy rộng? Câu trả lời cho câu hỏi này không hề đơn giản. Việc chứng minh sự tồn tại của ES(n) đòi hỏi những kỹ thuật và phương pháp phức tạp. Luận văn này trình bày lời giải cho bài toán ES(n) cho các trường hợp n = 3, 4, 5, sử dụng các kỹ thuật hình học và tổ hợp.

III. Lời Giải Cho ES 3 ES 4 ES 5 Cách Tiếp Cận Kết Quả Chi Tiết

Luận văn trình bày lời giải bài toán ES(n) cho các trường hợp n=3, 4, 5. Để thuận tiện, các ký hiệu lực lượng tập hợp và cấu hình điểm được quy ước rõ ràng. Việc phân tích các cấu hình điểm khác nhau trên mặt phẳng là chìa khóa để chứng minh các kết quả này. Các chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp và xét các trường hợp khác nhau, dựa trên số lượng điểm nằm trên biên của bao lồi và bên trong bao lồi. Các cấu hình con chuẩn tắc được sử dụng để đơn giản hóa các chứng minh.

3.1. ES 3 3 Chứng Minh Cho Tam Giác Lồi Suy Rộng

Công thức ES(3) = 3 được chứng minh bằng cách xét hai khả năng: ba điểm không thẳng hàng hoặc ba điểm thẳng hàng. Nếu ba điểm không thẳng hàng, chúng tạo thành một tam giác chính quy. Nếu ba điểm thẳng hàng, chúng tạo thành một tam giác suy rộng. Vì vậy, mọi tập có tối thiểu ba điểm đều chứa một tam giác lồi suy rộng. Chứng minh này đơn giản nhưng là nền tảng cho các chứng minh phức tạp hơn.

3.2. ES 4 5 Chứng Minh Cho Tứ Giác Lồi Suy Rộng

Công thức ES(4) = 5 được chứng minh bằng cách xét các cấu hình của năm điểm. Nếu có ít nhất bốn điểm nằm trên biên của bao lồi, chúng tạo thành một tứ giác lồi suy rộng. Nếu có ba điểm nằm trên biên của bao lồi và hai điểm nằm bên trong, tia nối hai điểm bên trong chia mặt phẳng thành hai miền. Một trong hai miền này chứa đúng hai đỉnh của bao lồi, và bốn điểm này tạo thành một tứ giác lồi suy rộng. Điều này chứng minh rằng mọi tập có tối thiểu năm điểm đều chứa một tứ giác lồi suy rộng.

3.3. ES 5 9 Chứng Minh Cho Ngũ Giác Lồi Suy Rộng

Chứng minh ES(5) = 9 phức tạp hơn và sử dụng phương pháp xét bao lồi theo chiều giảm dần về số đỉnh. Các khả năng được xét bao gồm: ít nhất năm điểm nằm trên biên của bao lồi, bốn điểm nằm trên biên của bao lồi, và ba điểm nằm trên biên của bao lồi. Với mỗi khả năng, các cấu hình con chuẩn tắc được sử dụng để chứng minh rằng luôn tồn tại năm điểm tạo thành một ngũ giác lồi suy rộng. Chứng minh này đòi hỏi sự phân tích tỉ mỉ các trường hợp và áp dụng các mệnh đề hình học.

IV. Giả Thuyết Erdo s Szekeres Với n 6 Nghiên Cứu Trường Hợp Riêng

Trường hợp n = 6 của giả thuyết Erdös-Szekeres rất khó chứng minh. Trường hợp n = 6 mới được Szekeres và Peters chứng minh năm 2006 nhờ máy tính và Knut Dehnhardt, Heiko Harborth, and Zsolt Lángi, V.Koshelev chứng minh cho một số trường hợp riêng (không dùng máy tính) năm 2009.

4.1. Tóm Tắt Công Trình Nghiên Cứu của Knut Dehnhardt Heiko Harborth and Zsolt Lángi

Luận văn trình bày lại một cách tóm lược công trình của Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi [9] đã chứng minh cho giả thuyết Erdös-Szekeres với trường hợp n = 6 trong một số trường hợp riêng mà không sử dụng máy tính. Công trình của Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi [9] đã chứng minh cho giả thuyết Erdös-Szekeres với trường hợp n = 6 trong một số trường hợp riêng mà không sử dụng máy tính.

V. Bài Toán Erdo s Về Đa Giác Lồi Rỗng Tổng Quan Lời Giải

Bài toán Erdös về sự tồn tại đa giác lồi rỗng là một bài toán liên quan đến giả thuyết Erdös-Szekeres. Bài toán này đặt ra câu hỏi về số lượng điểm tối thiểu cần thiết để đảm bảo sự tồn tại của một đa giác lồi rỗng với một số đỉnh nhất định. Một đa giác lồi rỗng là một đa giác lồi không chứa bất kỳ điểm nào khác bên trong nó. Bài toán này đã được nghiên cứu rộng rãi, và nhiều kết quả đã được tìm ra.

5.1. Lịch Sử và Định Nghĩa Đa Giác Lồi Rỗng

Bài toán Erdös về đa giác lồi rỗng có một lịch sử phát triển thú vị. Nhiều nhà toán học đã đóng góp vào việc giải quyết bài toán này. Đa giác lồi rỗng là một đa giác lồi không chứa bất kỳ điểm nào khác bên trong nó. Định nghĩa này đơn giản nhưng lại dẫn đến nhiều câu hỏi phức tạp.

5.2. Lời Giải Bài Toán H n cho n 3 4 5

Luận văn này cũng trình bày lời giải bài toán H(n) cho các trường hợp n = 3, 4, 5. Các chứng minh sử dụng các kỹ thuật hình học và tổ hợp tương tự như trong việc giải bài toán ES(n). Các kết quả này cung cấp thông tin quan trọng về cấu trúc của các tập điểm trên mặt phẳng.

VI. Kết Luận Hướng Nghiên Cứu Mới Tương Lai Của Giả Thuyết Erdo s Szekeres

Giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài toán mở rộng liên quan tiếp tục là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động trong toán học. Việc tìm ra các chứng minh đơn giản hơn cho các trường hợp đã được giải quyết, cũng như việc giải quyết các trường hợp còn mở (như n = 7 trở lên), là những thách thức lớn. Các kỹ thuật mới trong hình học tổ hợp, lý thuyết đồ thị và lý thuyết Ramsey có thể đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán này.

6.1. Các Bài Toán Mở Thách Thức Trong Hình Học Tổ Hợp

Nhiều bài toán mở khác trong hình học tổ hợp có liên quan đến giả thuyết Erdös-Szekeres. Các bài toán này thách thức các nhà toán học tìm ra các phương pháp mới để phân tích cấu trúc của các tập điểm và các hình hình học. Việc giải quyết các bài toán này có thể dẫn đến những khám phá quan trọng trong toán học và các ứng dụng thực tế.

6.2. Ứng Dụng Tiềm Năng Của Nghiên Cứu Về Erdo s Szekeres

Nghiên cứu về giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài toán liên quan có thể có những ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực như khoa học máy tính, thị giác máy tính, và thiết kế mạch tích hợp. Các kết quả trong lĩnh vực này có thể giúp cải thiện hiệu quả của các thuật toán và giải quyết các bài toán thực tế.

Tổng quan nghiên cứu

Giả thuyết Erdös-Szekeres, được đề xuất từ năm 1935, là một trong những bài toán nổi bật trong lĩnh vực hình học tổ hợp và toán học giải tích. Theo giả thuyết này, với mọi tập hợp trên mặt phẳng gồm không ít hơn $2^{n-2} + 1$ điểm ở vị trí tổng quát (không có ba điểm thẳng hàng), luôn tồn tại một tập con gồm $n$ điểm tạo thành đa giác lồi. Mặc dù phát biểu đơn giản, giả thuyết chỉ được chứng minh đầy đủ cho các trường hợp nhỏ như $n=3,4,5$, và trường hợp $n=6$ mới được chứng minh gần đây nhờ sự hỗ trợ của máy tính.

Nghiên cứu này tập trung vào việc mở rộng giả thuyết Erdös-Szekeres cho trường hợp các điểm ở vị trí bất kỳ, tức là cho phép tồn tại ba hoặc nhiều điểm thẳng hàng, điều kiện thường không được xét trong giả thuyết gốc. Ngoài ra, luận văn còn nghiên cứu bài toán Erdös về sự tồn tại đa giác lồi rỗng trong tập hợp các điểm ở vị trí bất kỳ trên mặt phẳng. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các trường hợp cụ thể với $n=3,4,5$ và một số trường hợp riêng của $n=6$, được thực hiện trong bối cảnh toán học giải tích và hình học tổ hợp tại Việt Nam trong giai đoạn trước năm 2011.

Mục tiêu chính của luận văn là chứng minh các công thức tính số điểm tối thiểu cần thiết để tồn tại đa giác lồi hoặc đa giác lồi rỗng suy rộng trong tập hợp điểm ở vị trí bất kỳ, đồng thời trình bày các phương pháp chứng minh và mở rộng các kết quả đã biết. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển lý thuyết hình học tổ hợp, góp phần làm rõ các giới hạn và khả năng ứng dụng của giả thuyết Erdös-Szekeres trong thực tế, đặc biệt khi điều kiện vị trí tổng quát không được đảm bảo.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai lý thuyết và mô hình nghiên cứu chính:

1. Giả thuyết Erdös-Szekeres: Phát biểu rằng mọi tập hợp điểm trên mặt phẳng với số lượng điểm tối thiểu $2^{n-2} + 1$ ở vị trí tổng quát đều chứa một tập con gồm $n$ điểm tạo thành đa giác lồi. Đây là nền tảng cho việc xác định số điểm tối thiểu cần thiết để đảm bảo sự tồn tại đa giác lồi.

2. Bài toán Erdös về đa giác lồi rỗng: Nghiên cứu sự tồn tại của đa giác lồi rỗng (không chứa điểm nào khác bên trong) trong tập hợp điểm ở vị trí tổng quát và mở rộng sang vị trí bất kỳ. Định nghĩa đa giác lồi rỗng suy rộng được đưa ra để phù hợp với trường hợp các điểm có thể thẳng hàng.

Các khái niệm chuyên ngành quan trọng bao gồm:

• Vị trí tổng quát (general position): Tập hợp điểm không có ba điểm thẳng hàng.
• Vị trí bất kỳ (arbitrary position): Tập hợp điểm có thể có ba hoặc nhiều điểm thẳng hàng.
• Đa giác lồi suy rộng: Đa giác mà mọi điểm đều nằm trên biên của bao lồi tập điểm, cho phép các điểm thẳng hàng.
• Cấu hình điểm và cấu hình con chuẩn tắc: Phân loại tập điểm theo số lượng điểm trên biên và bên trong bao lồi, dùng để phân tích và chứng minh sự tồn tại đa giác lồi hoặc đa giác lồi rỗng.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp hình học tổ hợp kết hợp với phân tích cấu hình điểm dựa trên bao lồi và các cấu hình con chuẩn tắc. Cụ thể:

• Nguồn dữ liệu: Tập hợp các điểm trên mặt phẳng với số lượng và vị trí khác nhau, được phân loại theo cấu hình biên và bên trong bao lồi.
• Phương pháp chọn mẫu: Xét các tập con điểm có cấu hình chuẩn tắc chứa đa giác lồi hoặc đa giác lồi rỗng suy rộng.
• Phương pháp phân tích: Sử dụng phương pháp bao lồi theo chiều giảm dần về số đỉnh của biên bao lồi, phân tích các trường hợp cấu hình điểm khác nhau (ví dụ: (m, a1, ..., ak)) để chứng minh sự tồn tại đa giác lồi hoặc đa giác lồi rỗng.
• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong giai đoạn trước năm 2011, tổng hợp và phát triển các kết quả đã có từ năm 1935 đến 2009, bao gồm các chứng minh cho các trường hợp $n=3,4,5$ và một số trường hợp riêng của $n=6$.

Phương pháp chứng minh chủ yếu dựa trên phân tích hình học trực tiếp, kết hợp với các định lý về bao lồi, cấu hình điểm và các kỹ thuật tổ hợp để xây dựng các đa giác lồi suy rộng và đa giác lồi rỗng suy rộng trong các tập hợp điểm ở vị trí bất kỳ.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Chứng minh công thức ES(n) cho tập điểm ở vị trí bất kỳ với n=3,4,5:

   • ES(3) = 3: Mọi tập có ít nhất 3 điểm ở vị trí bất kỳ đều chứa tam giác lồi suy rộng.
   • ES(4) = 5: Mọi tập có ít nhất 5 điểm ở vị trí bất kỳ đều chứa tứ giác lồi suy rộng.
   • ES(5) = 9: Mọi tập có ít nhất 9 điểm ở vị trí bất kỳ đều chứa ngũ giác lồi suy rộng.
     Các kết quả này được chứng minh bằng phương pháp phân tích cấu hình điểm và bao lồi, với các trường hợp cụ thể về số đỉnh của bao lồi ngoài cùng và các điểm bên trong.

2. Chứng minh công thức H(n) về đa giác lồi rỗng suy rộng với n=3,4,5:

   • H(3) = 3: Tương tự ES(3), tam giác lồi rỗng suy rộng luôn tồn tại với 3 điểm.
   • H(4) = 5: Với 5 điểm ở vị trí bất kỳ, luôn tồn tại tứ giác lồi rỗng suy rộng.
   • H(5) = 10: Với 10 điểm ở vị trí bất kỳ, luôn tồn tại ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
     Kết quả H(5) = 10 được chứng minh chi tiết qua phân tích các cấu hình điểm và các miền phân chia bởi các tia và đường thẳng, đảm bảo sự tồn tại ngũ giác lồi rỗng suy rộng trong mọi trường hợp.

3. Mở rộng giả thuyết Erdös-Szekeres cho tập điểm ở vị trí bất kỳ:
   Luận văn đã mở rộng khái niệm đa giác lồi và đa giác lồi rỗng sang dạng suy rộng, cho phép các điểm thẳng hàng, từ đó chứng minh các công thức ES(n) và H(n) vẫn giữ nguyên giá trị với các trường hợp n=3,4,5. Đây là đóng góp quan trọng giúp áp dụng giả thuyết vào các tập hợp điểm thực tế không tuân thủ điều kiện vị trí tổng quát.

4. So sánh với các nghiên cứu trước:
   Kết quả của luận văn phù hợp với các chứng minh trước đây cho trường hợp vị trí tổng quát, đồng thời bổ sung các chứng minh cho vị trí bất kỳ. Đặc biệt, các chứng minh cho trường hợp n=5 được thực hiện ngắn gọn và rõ ràng hơn so với các công trình trước đó.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân thành công của các chứng minh nằm ở việc phân tích kỹ lưỡng cấu hình điểm dựa trên bao lồi và các miền phân chia bởi các tia và đường thẳng, giúp xác định các tập con điểm tạo thành đa giác lồi hoặc đa giác lồi rỗng suy rộng. Việc mở rộng khái niệm đa giác lồi suy rộng là bước đột phá, cho phép xử lý các trường hợp thực tế có điểm thẳng hàng, điều mà giả thuyết gốc không bao quát.

So với các nghiên cứu trước, luận văn đã làm rõ và hệ thống hóa các chứng minh cho trường hợp vị trí bất kỳ, đồng thời cung cấp các minh họa hình học trực quan giúp dễ dàng hình dung các cấu hình điểm và đa giác liên quan. Các kết quả này có thể được trình bày qua các biểu đồ cấu hình điểm, sơ đồ bao lồi và phân chia miền, giúp minh họa trực quan các trường hợp chứng minh.

Ý nghĩa của nghiên cứu không chỉ nằm ở việc khẳng định các công thức ES(n) và H(n) trong điều kiện rộng hơn mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán hình học tổ hợp phức tạp hơn, đặc biệt trong các ứng dụng thực tế như xử lý dữ liệu điểm trong công nghệ, thiên văn học, và khoa học máy tính.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển thuật toán xác định đa giác lồi suy rộng trong tập điểm lớn

   • Động từ hành động: Xây dựng, tối ưu
   • Target metric: Tăng tốc độ xử lý và độ chính xác
   • Timeline: 1-2 năm
   • Chủ thể thực hiện: Các nhóm nghiên cứu toán học ứng dụng và khoa học máy tính

2. Mở rộng nghiên cứu cho các trường hợp n lớn hơn (n ≥ 6)

   • Động từ hành động: Nghiên cứu, chứng minh
   • Target metric: Chứng minh hoặc tìm giới hạn cho ES(n) và H(n) với n ≥ 6
   • Timeline: 3-5 năm
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà toán học chuyên sâu về hình học tổ hợp

3. Ứng dụng kết quả vào các lĩnh vực thực tiễn như xử lý ảnh, bản đồ thiên văn

   • Động từ hành động: Áp dụng, thử nghiệm
   • Target metric: Cải thiện độ chính xác trong nhận dạng mẫu và phân tích dữ liệu điểm
   • Timeline: 1-3 năm
   • Chủ thể thực hiện: Các viện nghiên cứu công nghệ, trung tâm dữ liệu

4. Tổ chức hội thảo chuyên đề về giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài toán liên quan

   • Động từ hành động: Tổ chức, kết nối
   • Target metric: Tăng cường hợp tác nghiên cứu và trao đổi học thuật
   • Timeline: Hàng năm
   • Chủ thể thực hiện: Các trường đại học, viện nghiên cứu toán học

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học, đặc biệt Toán giải tích và Hình học tổ hợp

   • Lợi ích: Hiểu sâu về giả thuyết Erdös-Szekeres, phương pháp chứng minh và các bài toán mở rộng.
   • Use case: Làm nền tảng cho các đề tài nghiên cứu tiếp theo hoặc luận văn thạc sĩ, tiến sĩ.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực hình học tổ hợp và toán học ứng dụng

   • Lợi ích: Cập nhật các kết quả mới, phương pháp chứng minh và ứng dụng mở rộng.
   • Use case: Phát triển bài giảng, nghiên cứu chuyên sâu hoặc hợp tác quốc tế.

3. Chuyên gia công nghệ xử lý dữ liệu điểm và bản đồ số

   • Lợi ích: Áp dụng các kết quả về đa giác lồi suy rộng trong xử lý dữ liệu thực tế có điểm thẳng hàng.
   • Use case: Phát triển thuật toán, cải thiện độ chính xác trong nhận dạng mẫu.

4. Nhà toán học lý thuyết và các nhà khoa học máy tính quan tâm đến lý thuyết Ramsey và đồ thị

   • Lợi ích: Khám phá mối liên hệ giữa giả thuyết Erdös-Szekeres và các lĩnh vực toán học khác.
   • Use case: Mở rộng nghiên cứu liên ngành, phát triển lý thuyết mới.

Câu hỏi thường gặp

1. Giả thuyết Erdös-Szekeres là gì?
   Giả thuyết Erdös-Szekeres phát biểu rằng với mọi tập hợp điểm trên mặt phẳng có ít nhất $2^{n-2} + 1$ điểm ở vị trí tổng quát, luôn tồn tại một tập con gồm $n$ điểm tạo thành đa giác lồi. Đây là một bài toán cơ bản trong hình học tổ hợp với nhiều ứng dụng.

2. Tại sao cần mở rộng giả thuyết cho tập điểm ở vị trí bất kỳ?
   Trong thực tế, các tập điểm thường không tuân thủ điều kiện không có ba điểm thẳng hàng. Việc mở rộng giả thuyết cho vị trí bất kỳ giúp áp dụng lý thuyết vào các trường hợp thực tế như dữ liệu kỹ thuật số, bản đồ thiên văn, nơi điểm thẳng hàng là phổ biến.

3. Đa giác lồi suy rộng khác gì so với đa giác lồi thông thường?
   Đa giác lồi suy rộng cho phép các điểm thẳng hàng, tức là các đỉnh có thể nằm trên cùng một cạnh, trong khi đa giác lồi thông thường yêu cầu các đỉnh là điểm góc không thẳng hàng. Điều này giúp mở rộng phạm vi áp dụng của các bài toán đa giác lồi.

4. Kết quả ES(5) = 9 có ý nghĩa gì?
   Kết quả này khẳng định rằng trong mọi tập hợp ít nhất 9 điểm ở vị trí bất kỳ trên mặt phẳng, luôn tồn tại 5 điểm tạo thành ngũ giác lồi suy rộng. Đây là một mốc quan trọng trong việc hiểu cấu trúc tổ hợp của các tập điểm.

5. Có thể áp dụng các kết quả này vào công nghệ hiện đại không?
   Có, các kết quả về đa giác lồi suy rộng và đa giác lồi rỗng suy rộng có thể ứng dụng trong xử lý ảnh, nhận dạng mẫu, phân tích dữ liệu điểm trong bản đồ số và thiên văn học, giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả thuật toán.

Kết luận

• Luận văn đã chứng minh thành công các công thức ES(n) và H(n) cho tập điểm ở vị trí bất kỳ với các trường hợp n=3,4,5, mở rộng giả thuyết Erdös-Szekeres truyền thống.
• Đã phát triển khái niệm đa giác lồi suy rộng và đa giác lồi rỗng suy rộng, phù hợp với các tập điểm có điểm thẳng hàng.
• Phương pháp nghiên cứu dựa trên phân tích cấu hình điểm và bao lồi, kết hợp kỹ thuật hình học tổ hợp, mang lại các chứng minh rõ ràng và trực quan.
• Kết quả có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết hình học tổ hợp và các ứng dụng thực tế trong khoa học và công nghệ.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm mở rộng cho n lớn hơn, phát triển thuật toán và ứng dụng trong các lĩnh vực công nghệ hiện đại.

Luận văn là tài liệu tham khảo quý giá cho các nhà nghiên cứu, giảng viên và sinh viên trong lĩnh vực toán học giải tích và hình học tổ hợp, đồng thời mở ra nhiều cơ hội hợp tác và phát triển nghiên cứu trong tương lai.