Một định lý hội tụ mạnh cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach

• Tác giả: Phạm Văn Vương
• Người hướng dẫn: TS. Trương Minh Tuyên
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Định Lý Hội Tụ Mạnh Trong Không Gian Banach
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach
• 1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
• 1.3. Phép chiếu mêtric và phép chiếu tổng quát
• 1.4. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach
• 2. CHƯƠNG 2: XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH
• 2.1. Bài toán không điểm chung tách
• 2.2. Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách
• 2.3. Bài toán điểm cực tiểu tách
• 2.4. Bài toán chấp nhận tách
• 2.5. Bất đẳng thức biến phân tách
• 2.6. Ví dụ minh họa
• MỞ ĐẦU
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Định lý hội tụ mạnh Banach Tổng quan và ứng dụng 55 ký tự

Luận văn này tập trung nghiên cứu về định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach, đặc biệt là trong bối cảnh bài toán không điểm chung tách. Bài toán này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như khôi phục hình ảnh y học, điều khiển cường độ xạ trị và lý thuyết trò chơi. Luận văn trình bày lại các kết quả của Tuyen T. về phương pháp chiếu lặp cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach, đồng thời mở rộng ứng dụng cho bài toán điểm cực tiểu tách, bài toán chấp nhận tách và bất đẳng thức biến phân tách. Nội dung được chia thành hai chương chính: kiến thức chuẩn bị và xấp xỉ nghiệm.

1.1. Giới thiệu bài toán không điểm chung tách SCNPP

Bài toán không điểm chung tách (SCNPP) là một chủ đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Nó có thể được phát biểu như sau: cho A : H1 −→ 2H1 và B : H2 −→ 2H2 là các toán tử đơn điệu cực đại và cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Mục tiêu là tìm một phần tử x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) ≠ ∅. Bài toán này tổng quát hóa bài toán chấp nhận tách (SFP) và có nhiều ứng dụng thực tế.

1.2. Ứng dụng thực tiễn của định lý hội tụ mạnh Banach

Định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach có nhiều ứng dụng thực tiễn. Ví dụ, trong bài toán chấp nhận tách (SFP), định lý này có thể được sử dụng để tìm nghiệm của bài toán khôi phục hình ảnh trong y học. Ngoài ra, định lý còn có thể được áp dụng để giải các bài toán cân bằng trong kinh tế và lý thuyết trò chơi. Các thuật toán dựa trên phương pháp chiếu lặp và phương pháp chiếu lai ghép là những công cụ hiệu quả để giải các bài toán này.

II. Không gian Banach Cấu trúc hình học và tính chất 58 ký tự

Chương 1 của luận văn tập trung vào các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các vấn đề về cấu trúc hình học của không gian Banach. Cụ thể, chương này đề cập đến các khái niệm như không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu metric và phép chiếu tổng quát, cũng như toán tử đơn điệu. Các tính chất cơ bản của những khái niệm này được trình bày chi tiết, dựa trên các tài liệu tham khảo uy tín trong lĩnh vực toán học.

2.1. Tính lồi và tính trơn của không gian Banach

Một không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x ≠ y, mà ||x|| = 1, ||y|| = 1 ta có ||(x+y)/2|| < 1. Tính chất lồi chặt đảm bảo rằng không gian có hình dạng 'tròn trịa'. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE (tập các điểm trên mặt cầu đơn vị), tồn tại duy nhất fx ∈ E ∗ sao cho <x, fx> = ||x|| và ||fx|| = 1. Tính chất trơn liên quan đến sự khả vi của chuẩn.

2.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa và tính chất

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X −→ 2X* được định nghĩa bởi J(x) = {f ∈ X ∗ : <x, f> = ||x||^2 , ||x|| = ||f||}. Trong không gian Hilbert, ánh xạ này trùng với ánh xạ đồng nhất. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J nói chung là một ánh xạ đa trị. Tính chất quan trọng của ánh xạ này là tính đơn điệu và tính liên tục trong một số không gian Banach đặc biệt.

2.3. Phép chiếu metric và phép chiếu tổng quát

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H. Phép chiếu metric PC : H → C được định nghĩa sao cho PC(x) là điểm duy nhất trong C gần x nhất, tức là ||x - PC(x)|| = inf {||x - y||: y ∈ C}. Phép chiếu tổng quát ΠC là sự mở rộng của phép chiếu metric cho không gian Banach, thường liên quan đến hàm Bregman hoặc các hàm khoảng cách khác. Phép chiếu này có vai trò quan trọng trong các thuật toán tối ưu hóa lặp.

III. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach Khái niệm 59 ký tự

Trong không gian Banach, toán tử đơn điệu đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán tối ưu và bài toán không điểm. Toán tử A : E → 2^E* được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ E, x* ∈ A(x), y* ∈ A(y), ta có <x - y, x* - y*> ≥ 0. Toán tử đơn điệu cực đại là toán tử đơn điệu mà đồ thị của nó không thể mở rộng thành một toán tử đơn điệu khác. Toán tử giải metric liên quan chặt chẽ đến toán tử đơn điệu.

3.1. Định nghĩa và tính chất của toán tử đơn điệu cực đại

Toán tử A : E → 2^E* được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ E, x* ∈ A(x), y* ∈ A(y), ta có <x - y, x* - y*> ≥ 0. Toán tử đơn điệu cực đại là toán tử đơn điệu mà đồ thị của nó không thể mở rộng thành một toán tử đơn điệu khác. Tính đơn điệu cực đại là một tính chất quan trọng, đảm bảo sự hội tụ của nhiều thuật toán.

3.2. Toán tử giải metric và mối liên hệ với toán tử đơn điệu

Cho A là một toán tử đơn điệu cực đại. Toán tử giải metric JA,λ : E → E được định nghĩa bởi JA,λ (x) = (I + λA)^-1(x), với λ > 0. Toán tử giải metric luôn tồn tại và là liên tục Lipschitz. Toán tử giải metric là một công cụ quan trọng để xây dựng các thuật toán giải bài toán không điểm của toán tử đơn điệu.

IV. Xấp xỉ nghiệm bài toán không điểm chung tách Phương pháp 58 ký tự

Chương 2 của luận văn đi sâu vào việc trình bày chi tiết các kết quả của Tuyen T. về phương pháp chiếu lai ghép cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach. Phương pháp này kết hợp ý tưởng của phương pháp chiếu lặp và phương pháp lai ghép, nhằm cải thiện tốc độ hội tụ và độ ổn định của thuật toán. Chương này cũng đề cập đến một số ứng dụng của phương pháp chiếu lai ghép cho bài toán điểm cực tiểu tách, bài toán chấp nhận tách và bất đẳng thức biến phân tách.

4.1. Phương pháp chiếu lai ghép Ý tưởng và thuật toán

Phương pháp chiếu lai ghép là một kỹ thuật lặp để tìm nghiệm của bài toán không điểm chung. Ý tưởng chính là kết hợp thông tin từ các bước lặp trước đó để tạo ra một hướng tìm kiếm tốt hơn. Thuật toán thường bao gồm các bước: tính toán phép chiếu lên các tập lồi, kết hợp các phép chiếu bằng một hệ số lai ghép, và cập nhật nghiệm xấp xỉ.

4.2. Phân tích hội tụ của phương pháp chiếu lai ghép

Việc chứng minh sự hội tụ của phương pháp chiếu lai ghép đòi hỏi việc sử dụng các công cụ phân tích hàm, như bất đẳng thức Opial, và các tính chất của không gian Banach. Các điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ mạnh hoặc hội tụ yếu của thuật toán thường liên quan đến tính lồi đều và tính trơn đều của không gian Banach.

V. Bài toán điểm cực tiểu tách Ứng dụng của hội tụ mạnh 57 ký tự

Luận văn mở rộng ứng dụng của định lý hội tụ mạnh cho bài toán điểm cực tiểu tách. Bài toán này tìm kiếm một điểm cực tiểu chung của nhiều hàm lồi trên các tập lồi khác nhau. Phương pháp chiếu lai ghép có thể được áp dụng để giải bài toán này, với việc thay thế phép chiếu lên tập lồi bằng phép tính dưới vi phân của hàm lồi.

5.1. Phát biểu bài toán điểm cực tiểu tách và điều kiện tối ưu

Cho C1, C2, ..., Cn là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Banach E, và f1, f2, ..., fn là các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Bài toán điểm cực tiểu tách tìm x* sao cho x* là điểm cực tiểu của fi trên Ci với mọi i = 1, 2, ..., n. Điều kiện tối ưu cho bài toán liên quan đến dưới vi phân của các hàm fi và phép chiếu lên các tập Ci.

5.2. Giải bài toán điểm cực tiểu tách bằng phương pháp chiếu

Phương pháp chiếu lặp và phương pháp chiếu lai ghép có thể được điều chỉnh để giải bài toán điểm cực tiểu tách. Thay vì phép chiếu metric lên tập lồi, ta sử dụng phép chiếu liên quan đến toán tử dưới vi phân. Việc chứng minh sự hội tụ của thuật toán đòi hỏi việc sử dụng các tính chất của hàm lồi và không gian Banach.

VI. Kết luận và hướng phát triển cho định lý hội tụ 53 ký tự

Luận văn đã trình bày một cách chi tiết các kết quả về định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach, đặc biệt là trong bối cảnh bài toán không điểm chung tách. Các ứng dụng của định lý này cho bài toán điểm cực tiểu tách và bài toán chấp nhận tách cũng được thảo luận. Hướng phát triển trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các thuật toán cho các không gian Banach tổng quát hơn và nghiên cứu các điều kiện hội tụ yếu hơn.

6.1. Tổng kết các kết quả chính của luận văn

Luận văn đã trình bày lại và mở rộng các kết quả của Tuyen T. về phương pháp chiếu lai ghép cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển các thuật toán hiệu quả để giải các bài toán tối ưu và bài toán không điểm.

6.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo và các vấn đề mở

Một số hướng nghiên cứu tiềm năng bao gồm: mở rộng các thuật toán cho các không gian Banach tổng quát hơn (ví dụ, không gian đều trơn), nghiên cứu các điều kiện hội tụ yếu hơn, và áp dụng các thuật toán cho các bài toán thực tế trong các lĩnh vực như học máy và xử lý tín hiệu.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach là một chủ đề nghiên cứu quan trọng với nhiều ứng dụng thực tiễn như khôi phục hình ảnh y học, điều khiển cường độ xạ trị, và lý thuyết trò chơi. Theo ước tính, các không gian Banach lồi đều và trơn chiếm vị trí trung tâm trong việc phát triển các phương pháp giải bài toán này. Luận văn tập trung nghiên cứu một định lý hội tụ mạnh cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach, với mục tiêu xây dựng và chứng minh tính hội tụ mạnh của phương pháp chiếu lai ghép.

Phạm vi nghiên cứu bao gồm các không gian Banach lồi đều, trơn, cùng các toán tử đơn điệu cực đại và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, trong khoảng thời gian nghiên cứu từ năm 2017 đến 2019 tại trường Đại học Thái Nguyên. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp một công cụ toán học vững chắc để giải quyết các bài toán không điểm chung tách, từ đó mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, đồng thời nâng cao hiệu quả các thuật toán tìm nghiệm trong không gian Banach.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết về không gian Banach lồi đều và trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, và toán tử đơn điệu cực đại. Cụ thể:

• Không gian Banach lồi đều và trơn: Đây là các không gian tuyến tính định chuẩn có tính chất lồi chặt, lồi đều, và trơn đều, đảm bảo tính phản xạ và tính chất Kadec-Klee, giúp kiểm soát sự hội tụ của các dãy trong không gian.

• Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc (J): Là ánh xạ đa trị từ không gian Banach vào không gian đối ngẫu, có tính chất đơn trị và liên tục đều trên các tập bị chặn khi không gian Banach là trơn đều.

• Toán tử đơn điệu cực đại (A, B): Các toán tử này có đồ thị không thể mở rộng thêm mà vẫn giữ tính đơn điệu, đóng vai trò trung tâm trong việc mô hình hóa bài toán không điểm chung tách.

Các khái niệm chính bao gồm phép chiếu mêtric, phép chiếu tổng quát, toán tử giải mêtric, và các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Luận văn cũng sử dụng các định lý về tính chất lồi, trơn, và các mô đun lồi, mô đun trơn để xây dựng cơ sở toán học vững chắc.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các tài liệu học thuật, bài báo khoa học và các kết quả đã được công bố về không gian Banach và bài toán không điểm chung tách. Phương pháp nghiên cứu bao gồm:

• Phân tích lý thuyết: Xây dựng và chứng minh các định lý liên quan đến tính hội tụ mạnh của phương pháp chiếu lai ghép trong không gian Banach.

• Phương pháp chiếu lai ghép: Phương pháp lặp dựa trên việc kết hợp các phép chiếu mêtric và phép chiếu tổng quát để xấp xỉ nghiệm bài toán không điểm chung tách.

• Phân tích hội tụ: Sử dụng các tính chất của không gian Banach lồi đều, trơn và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc để chứng minh dãy nghiệm thu được hội tụ mạnh về nghiệm thực sự của bài toán.

• Timeline nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu diễn ra trong năm 2019, với các bước chuẩn bị lý thuyết, xây dựng phương pháp, chứng minh định lý và minh họa bằng ví dụ cụ thể.

Cỡ mẫu nghiên cứu là các dãy số trong không gian Banach, được chọn mẫu theo tính chất bị chặn và hội tụ yếu, nhằm đảm bảo tính khả thi và chính xác của các kết quả phân tích.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Tính hội tụ mạnh của phương pháp chiếu lai ghép: Dãy nghiệm {x_n} được xác định bởi phương pháp chiếu lai ghép hội tụ mạnh về phần tử z_0 ∈ S, trong đó S là tập không điểm chung tách, với z_0 là phép chiếu mêtric của x_1 lên S. Kết quả này được chứng minh dựa trên các bất đẳng thức liên quan đến ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và tính đơn điệu cực đại của các toán tử.

2. Tính bị chặn và liên tục của dãy nghiệm: Dãy {x_n} và các dãy liên quan như {J_{r_n} x_n} đều bị chặn trong không gian Banach, đảm bảo tính ổn định của thuật toán. Đồng thời, các toán tử giải mêtric thể hiện tính liên tục đều trên các tập bị chặn, hỗ trợ cho việc chứng minh hội tụ.

3. Mối liên hệ giữa các bài toán đặc biệt: Bài toán không điểm chung tách bao gồm các bài toán điểm cực tiểu tách, chấp nhận tách và bất đẳng thức biến phân tách như các trường hợp đặc biệt. Phương pháp chiếu lai ghép có thể áp dụng hiệu quả cho tất cả các bài toán này, mở rộng phạm vi ứng dụng.

4. Ví dụ minh họa thực tế: Qua ví dụ về bài toán chấp nhận tách trong không gian R^N với các tập con lồi đóng xác định bởi các bất đẳng thức tuyến tính, phương pháp lặp cho thấy sự hội tụ nhanh chóng với sai số nhỏ hơn một ngưỡng cho trước, chứng minh tính khả thi của phương pháp trong thực tế.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của tính hội tụ mạnh được giải thích bởi cấu trúc hình học đặc biệt của không gian Banach lồi đều và trơn, cùng với tính chất đơn trị và liên tục của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. So sánh với các nghiên cứu trước đây, kết quả này mở rộng phạm vi áp dụng từ không gian Hilbert sang không gian Banach tổng quát hơn, đồng thời cung cấp một phương pháp lặp hiệu quả và có tính toán thực tiễn cao.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ thể hiện sự giảm dần của sai số TOL_n theo số bước lặp, hoặc bảng số liệu minh họa sự hội tụ của dãy nghiệm trong ví dụ minh họa. Điều này giúp trực quan hóa quá trình hội tụ và đánh giá hiệu quả thuật toán.

Ý nghĩa của kết quả nằm ở việc cung cấp một công cụ toán học mạnh mẽ để giải quyết các bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach, từ đó hỗ trợ các ứng dụng trong y học, kinh tế và kỹ thuật.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển thuật toán chiếu lai ghép đa chiều: Mở rộng phương pháp hiện tại để áp dụng cho các không gian Banach đa chiều phức tạp hơn, nhằm nâng cao hiệu quả giải quyết bài toán không điểm chung tách trong các ứng dụng thực tế.

2. Tối ưu hóa tham số lặp: Đề xuất điều chỉnh các tham số {r_n}, {λ_n}, {μ_n} trong phương pháp lặp để tăng tốc độ hội tụ, giảm thiểu số bước lặp cần thiết, từ đó tiết kiệm tài nguyên tính toán.

3. Ứng dụng trong khôi phục hình ảnh y học: Áp dụng phương pháp chiếu lai ghép để cải thiện chất lượng khôi phục hình ảnh y học, đặc biệt trong điều trị ung thư bằng xạ trị, với mục tiêu nâng cao độ chính xác và giảm thiểu tác dụng phụ.

4. Đào tạo và chuyển giao công nghệ: Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu cho các nhà nghiên cứu và kỹ sư trong lĩnh vực toán học ứng dụng và kỹ thuật để phổ biến phương pháp và kết quả nghiên cứu, thúc đẩy ứng dụng rộng rãi.

Thời gian thực hiện các giải pháp đề xuất nên được phân bổ trong vòng 1-2 năm, với sự phối hợp giữa các viện nghiên cứu, trường đại học và doanh nghiệp liên quan.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nhà nghiên cứu toán học ứng dụng: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp mới để giải quyết bài toán không điểm chung tách, hỗ trợ phát triển các nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực không gian Banach và toán tử đơn điệu.

2. Kỹ sư và chuyên gia công nghệ y sinh: Các phương pháp và kết quả nghiên cứu có thể ứng dụng trong khôi phục hình ảnh y học và điều khiển xạ trị, giúp cải thiện hiệu quả điều trị và chất lượng dịch vụ y tế.

3. Giảng viên và sinh viên cao học ngành Toán học và Khoa học máy tính: Tài liệu chi tiết về các khái niệm cơ bản và phương pháp nghiên cứu là nguồn học liệu quý giá cho việc giảng dạy và học tập chuyên sâu.

4. Chuyên gia phát triển thuật toán tối ưu và giải thuật: Phương pháp chiếu lai ghép và các kết quả hội tụ mạnh cung cấp cơ sở để phát triển các thuật toán tối ưu mới trong các lĩnh vực như kinh tế, lý thuyết trò chơi và xử lý tín hiệu.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp chiếu lai ghép là gì?
   Phương pháp chiếu lai ghép là một kỹ thuật lặp sử dụng các phép chiếu mêtric và phép chiếu tổng quát để xấp xỉ nghiệm bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach. Ví dụ, nó kết hợp các phép chiếu lên các tập con lồi để thu hẹp dần khoảng cách đến nghiệm.

2. Tại sao không gian Banach lồi đều và trơn được chọn làm môi trường nghiên cứu?
   Không gian Banach lồi đều và trơn có các tính chất hình học đặc biệt như tính phản xạ và tính chất Kadec-Klee, giúp đảm bảo tính hội tụ mạnh của các dãy nghiệm, điều này không phải lúc nào cũng có trong các không gian khác.

3. Bài toán không điểm chung tách có ứng dụng thực tế nào?
   Bài toán này được ứng dụng trong khôi phục hình ảnh y học, điều khiển cường độ xạ trị trong điều trị ung thư, và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế và lý thuyết trò chơi, giúp tối ưu hóa các hệ thống phức tạp.

4. Làm thế nào để kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp?
   Sự hội tụ được kiểm tra thông qua các tiêu chí như sai số TOL_n, đo khoảng cách giữa các bước lặp liên tiếp, hoặc khoảng cách đến tập nghiệm S. Ví dụ, khi TOL_n nhỏ hơn một ngưỡng cho trước, thuật toán được dừng lại.

5. Phương pháp này có thể áp dụng cho các không gian khác ngoài Banach không?
   Mặc dù phương pháp được phát triển cho không gian Banach lồi đều và trơn, các kết quả tương tự cũng tồn tại trong không gian Hilbert. Tuy nhiên, tính chất và phương pháp chứng minh có thể khác nhau do cấu trúc hình học của không gian.

Kết luận

• Luận văn đã xây dựng và chứng minh một định lý hội tụ mạnh cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach lồi đều và trơn.
• Phương pháp chiếu lai ghép được phát triển và chứng minh có tính hội tụ mạnh, ổn định và hiệu quả.
• Kết quả mở rộng phạm vi ứng dụng từ không gian Hilbert sang không gian Banach tổng quát hơn, với nhiều ứng dụng thực tiễn trong y học và kinh tế.
• Các ví dụ minh họa cho thấy tính khả thi và hiệu quả của phương pháp trong thực tế.
• Đề xuất các hướng phát triển tiếp theo nhằm tối ưu hóa thuật toán và mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

Để tiếp tục nghiên cứu, cần triển khai các thử nghiệm thực tế, phát triển thuật toán đa chiều và đào tạo chuyên sâu cho các nhà nghiên cứu. Mời độc giả quan tâm liên hệ để trao đổi và hợp tác nghiên cứu sâu hơn.