Một định lý hội tụ mạnh cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach

• Tác giả: Phạm Văn Vương
• Người hướng dẫn: TS. Trương Minh Tuyên
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Định Lý Hội Tụ Mạnh Trong Không Gian Banach
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach
• 1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
• 1.3. Phép chiếu mêtric và phép chiếu tổng quát
• 1.4. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach
• 2. CHƯƠNG 2: XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH
• 2.1. Bài toán không điểm chung tách
• 2.2. Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách
• 2.3. Bài toán điểm cực tiểu tách
• 2.4. Bài toán chấp nhận tách
• 2.5. Bất đẳng thức biến phân tách
• 2.6. Ví dụ minh họa
• MỞ ĐẦU
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Định lý hội tụ mạnh Banach Tổng quan và ứng dụng 55 ký tự

Luận văn này tập trung nghiên cứu về định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach, đặc biệt là trong bối cảnh bài toán không điểm chung tách. Bài toán này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như khôi phục hình ảnh y học, điều khiển cường độ xạ trị và lý thuyết trò chơi. Luận văn trình bày lại các kết quả của Tuyen T. về phương pháp chiếu lặp cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach, đồng thời mở rộng ứng dụng cho bài toán điểm cực tiểu tách, bài toán chấp nhận tách và bất đẳng thức biến phân tách. Nội dung được chia thành hai chương chính: kiến thức chuẩn bị và xấp xỉ nghiệm.

1.1. Giới thiệu bài toán không điểm chung tách SCNPP

Bài toán không điểm chung tách (SCNPP) là một chủ đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Nó có thể được phát biểu như sau: cho A : H1 −→ 2H1 và B : H2 −→ 2H2 là các toán tử đơn điệu cực đại và cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Mục tiêu là tìm một phần tử x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) ≠ ∅. Bài toán này tổng quát hóa bài toán chấp nhận tách (SFP) và có nhiều ứng dụng thực tế.

1.2. Ứng dụng thực tiễn của định lý hội tụ mạnh Banach

Định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach có nhiều ứng dụng thực tiễn. Ví dụ, trong bài toán chấp nhận tách (SFP), định lý này có thể được sử dụng để tìm nghiệm của bài toán khôi phục hình ảnh trong y học. Ngoài ra, định lý còn có thể được áp dụng để giải các bài toán cân bằng trong kinh tế và lý thuyết trò chơi. Các thuật toán dựa trên phương pháp chiếu lặp và phương pháp chiếu lai ghép là những công cụ hiệu quả để giải các bài toán này.

II. Không gian Banach Cấu trúc hình học và tính chất 58 ký tự

Chương 1 của luận văn tập trung vào các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các vấn đề về cấu trúc hình học của không gian Banach. Cụ thể, chương này đề cập đến các khái niệm như không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu metric và phép chiếu tổng quát, cũng như toán tử đơn điệu. Các tính chất cơ bản của những khái niệm này được trình bày chi tiết, dựa trên các tài liệu tham khảo uy tín trong lĩnh vực toán học.

2.1. Tính lồi và tính trơn của không gian Banach

Một không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x ≠ y, mà ||x|| = 1, ||y|| = 1 ta có ||(x+y)/2|| < 1. Tính chất lồi chặt đảm bảo rằng không gian có hình dạng 'tròn trịa'. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE (tập các điểm trên mặt cầu đơn vị), tồn tại duy nhất fx ∈ E ∗ sao cho <x, fx> = ||x|| và ||fx|| = 1. Tính chất trơn liên quan đến sự khả vi của chuẩn.

2.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa và tính chất

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X −→ 2X* được định nghĩa bởi J(x) = {f ∈ X ∗ : <x, f> = ||x||^2 , ||x|| = ||f||}. Trong không gian Hilbert, ánh xạ này trùng với ánh xạ đồng nhất. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J nói chung là một ánh xạ đa trị. Tính chất quan trọng của ánh xạ này là tính đơn điệu và tính liên tục trong một số không gian Banach đặc biệt.

2.3. Phép chiếu metric và phép chiếu tổng quát

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H. Phép chiếu metric PC : H → C được định nghĩa sao cho PC(x) là điểm duy nhất trong C gần x nhất, tức là ||x - PC(x)|| = inf {||x - y||: y ∈ C}. Phép chiếu tổng quát ΠC là sự mở rộng của phép chiếu metric cho không gian Banach, thường liên quan đến hàm Bregman hoặc các hàm khoảng cách khác. Phép chiếu này có vai trò quan trọng trong các thuật toán tối ưu hóa lặp.

III. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach Khái niệm 59 ký tự

Trong không gian Banach, toán tử đơn điệu đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán tối ưu và bài toán không điểm. Toán tử A : E → 2^E* được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ E, x* ∈ A(x), y* ∈ A(y), ta có <x - y, x* - y*> ≥ 0. Toán tử đơn điệu cực đại là toán tử đơn điệu mà đồ thị của nó không thể mở rộng thành một toán tử đơn điệu khác. Toán tử giải metric liên quan chặt chẽ đến toán tử đơn điệu.

3.1. Định nghĩa và tính chất của toán tử đơn điệu cực đại

Toán tử A : E → 2^E* được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ E, x* ∈ A(x), y* ∈ A(y), ta có <x - y, x* - y*> ≥ 0. Toán tử đơn điệu cực đại là toán tử đơn điệu mà đồ thị của nó không thể mở rộng thành một toán tử đơn điệu khác. Tính đơn điệu cực đại là một tính chất quan trọng, đảm bảo sự hội tụ của nhiều thuật toán.

3.2. Toán tử giải metric và mối liên hệ với toán tử đơn điệu

Cho A là một toán tử đơn điệu cực đại. Toán tử giải metric JA,λ : E → E được định nghĩa bởi JA,λ (x) = (I + λA)^-1(x), với λ > 0. Toán tử giải metric luôn tồn tại và là liên tục Lipschitz. Toán tử giải metric là một công cụ quan trọng để xây dựng các thuật toán giải bài toán không điểm của toán tử đơn điệu.

IV. Xấp xỉ nghiệm bài toán không điểm chung tách Phương pháp 58 ký tự

Chương 2 của luận văn đi sâu vào việc trình bày chi tiết các kết quả của Tuyen T. về phương pháp chiếu lai ghép cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach. Phương pháp này kết hợp ý tưởng của phương pháp chiếu lặp và phương pháp lai ghép, nhằm cải thiện tốc độ hội tụ và độ ổn định của thuật toán. Chương này cũng đề cập đến một số ứng dụng của phương pháp chiếu lai ghép cho bài toán điểm cực tiểu tách, bài toán chấp nhận tách và bất đẳng thức biến phân tách.

4.1. Phương pháp chiếu lai ghép Ý tưởng và thuật toán

Phương pháp chiếu lai ghép là một kỹ thuật lặp để tìm nghiệm của bài toán không điểm chung. Ý tưởng chính là kết hợp thông tin từ các bước lặp trước đó để tạo ra một hướng tìm kiếm tốt hơn. Thuật toán thường bao gồm các bước: tính toán phép chiếu lên các tập lồi, kết hợp các phép chiếu bằng một hệ số lai ghép, và cập nhật nghiệm xấp xỉ.

4.2. Phân tích hội tụ của phương pháp chiếu lai ghép

Việc chứng minh sự hội tụ của phương pháp chiếu lai ghép đòi hỏi việc sử dụng các công cụ phân tích hàm, như bất đẳng thức Opial, và các tính chất của không gian Banach. Các điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ mạnh hoặc hội tụ yếu của thuật toán thường liên quan đến tính lồi đều và tính trơn đều của không gian Banach.

V. Bài toán điểm cực tiểu tách Ứng dụng của hội tụ mạnh 57 ký tự

Luận văn mở rộng ứng dụng của định lý hội tụ mạnh cho bài toán điểm cực tiểu tách. Bài toán này tìm kiếm một điểm cực tiểu chung của nhiều hàm lồi trên các tập lồi khác nhau. Phương pháp chiếu lai ghép có thể được áp dụng để giải bài toán này, với việc thay thế phép chiếu lên tập lồi bằng phép tính dưới vi phân của hàm lồi.

5.1. Phát biểu bài toán điểm cực tiểu tách và điều kiện tối ưu

Cho C1, C2, ..., Cn là các tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Banach E, và f1, f2, ..., fn là các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Bài toán điểm cực tiểu tách tìm x* sao cho x* là điểm cực tiểu của fi trên Ci với mọi i = 1, 2, ..., n. Điều kiện tối ưu cho bài toán liên quan đến dưới vi phân của các hàm fi và phép chiếu lên các tập Ci.

5.2. Giải bài toán điểm cực tiểu tách bằng phương pháp chiếu

Phương pháp chiếu lặp và phương pháp chiếu lai ghép có thể được điều chỉnh để giải bài toán điểm cực tiểu tách. Thay vì phép chiếu metric lên tập lồi, ta sử dụng phép chiếu liên quan đến toán tử dưới vi phân. Việc chứng minh sự hội tụ của thuật toán đòi hỏi việc sử dụng các tính chất của hàm lồi và không gian Banach.

VI. Kết luận và hướng phát triển cho định lý hội tụ 53 ký tự

Luận văn đã trình bày một cách chi tiết các kết quả về định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach, đặc biệt là trong bối cảnh bài toán không điểm chung tách. Các ứng dụng của định lý này cho bài toán điểm cực tiểu tách và bài toán chấp nhận tách cũng được thảo luận. Hướng phát triển trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các thuật toán cho các không gian Banach tổng quát hơn và nghiên cứu các điều kiện hội tụ yếu hơn.

6.1. Tổng kết các kết quả chính của luận văn

Luận văn đã trình bày lại và mở rộng các kết quả của Tuyen T. về phương pháp chiếu lai ghép cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển các thuật toán hiệu quả để giải các bài toán tối ưu và bài toán không điểm.

6.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo và các vấn đề mở

Một số hướng nghiên cứu tiềm năng bao gồm: mở rộng các thuật toán cho các không gian Banach tổng quát hơn (ví dụ, không gian đều trơn), nghiên cứu các điều kiện hội tụ yếu hơn, và áp dụng các thuật toán cho các bài toán thực tế trong các lĩnh vực như học máy và xử lý tín hiệu.